【解直角三角形】专题复习讲义

边上的高。（
）
由上图可得：AB CD=AC BC
二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC中，∠C=90°
锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于 1)
【聚焦中考考点】 1、锐角三角函数的定义
方程求解
3
2、特殊角三角函数值 3、解直角三角形的应用
4
【解直角三角形】经典测试题 （1——10题每题 5分，11——12每题 10分，13——16每题 20分，共 150分）
1、在△ABC中，若
，
，则这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
。
（1）求△ANE的面积；（2）求 sin∠ENB的值。
图4
12、某船向正东航行，在 A处望见灯塔 C在东北方 向，前进到 B处望见灯塔 C在北偏西 30o,又航行了 半小时到 D处，望灯塔 C恰在西北方向，若船速为 每小时 20海里，求 A、D两点间的距离。（结果不 取近似值）
6
13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶 A处放下， 在楼前点 C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D处测得楼顶 A点的仰角 为 31°，再沿 DB方向前进 16米到达 E处，测得点 A的仰角为 45°．已知点 C到大厦的距 离 BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31° ≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．
A.7米 B.9米 C.12米 D.15米
4、如图 2，两条宽度都为 1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交
角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）
图1
A.
B.
C.
D.1
5
图2
5、把直角三角形中缩小 5倍，那么锐角∠A的正弦值 ( )
A.扩大 5倍 B.缩小 5倍 C.没有变化
D.不能确定
仰角
西
俯角
东
（3）坡角（是斜面与水平面的 夹角）、坡度（是坡角的正切值）.
南
七、有关公式
（1）
=
=
i
α
h
l
（2）Rt△面积公式：
（3）结论：直角三角形斜边上的高
（4）测底部不可到达物体的高度
在 Rt△ABP中，BP=xcotα
在 Rt△AQB中，BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即 xcotβ-xcotα=a．
三种基本关系：1、边边关系： 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数
类型 两边
解直角三角形的四种基本类型及解法总结：
已知条件
解法
两直角边 、
，
，
直角边 ，斜边
，
，
一边 一锐 角
直角边 ，锐角 A 斜边 ，锐角 A
，
，
，
，
六、对实际问题的处理
北
（1）俯、仰角. （2）方位角、象限角.
1
四、特殊角的三角函数值
α
sinα
30°
cosα
tanα cotα
45°
1
1
60°
说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 五、 解直角三角形 在 Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三 角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
6、如图 3，在 Rt△ABC中，∠C=90°，D为 BC上的一点，AD=BD=2，AB= AC的长为（ ）．
A．
B．
C．3 D．
，则：
7、如果∠A是锐角，且
，那么（ ）．
A．
B．
C．
D．
图3
8、已知
，则
的值等于（ ）
A. B. C．
D．0
9、 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm和 6cm，则底边上的
《解直角三角形》专题复习讲义
一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC= AB】
A D
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D为 AB的中点 ∴ CD= AB=BD=AD 】
பைடு நூலகம்
a
2
八、基本图形（组合型）
翻折
平移
九、解直角三角形的知识的应用问题： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题． (3)计算坝体或边路的坡度等问题
十、解题思路与数学思想方法
图形、条件
实际问题
数学问题
抽象转化
单个直角三角形
直接求解
辅助线构造
不是直角三角形
直角三角形
常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用
（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA tan(90°—A)=1； cotA cot(90°—A)=1； （3）弦切关系
tanA=
cotA=
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
2、sin65°与 cos26°之间的关系为（ ）
A.sin65°< cos26°
B.sin65°> cos26°
C.sin65°= cos26°
D.sin65°+ cos26°=1
3、如图 1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i=2∶
3，顶宽是 3米，路基高是 4米，则路基的下底宽是（ ）
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
C
B
几何表示：【在 Rt△ABC中∵∠ACB=90° ∴
】
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每
条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB
∴
】
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜
高为__________cm，底角的余弦值为______。
10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知
这种地毯每平方米售价 30元，主楼梯宽 2米，其侧面如图所示，
则购买地毯至少需要______元。
11、如图 4，ABCD为正方形，E为 BC上一点，将正方形折叠，
使 A点与 E点重合，折痕为 MN，若