2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质习题课 新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质习题课 新人教A 版必

修1

一、选择题

1．设函数D (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

0，x 是有理数

1，x 是无理数，则下列结论错误的是( )

A ．D (x )的值域是[0,1]

B ．D (x )是偶函数

C ．

D (x )不是单调函数

D ．D (x )的值域是{0,1}

解析：本题主要考查简单分段函数的基本性质．从分段函数的解析式知函数的值域为{0,1}，故选A.

答案：A

2．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的单调递增区间分别是( ) A ．(－∞，0]和(－∞，1] B ．(－∞，0]和[1，＋∞) C ．[0，＋∞)和(－∞，1] D ．[0，＋∞]和[1，＋∞)

解析：本题主要考查函数单调区间的判断．函数f (x )＝|x |的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g (x )＝x (2－x )＝－(x －1)2

＋1的单调递增区间为(－∞，1]．故选C.

答案：C

3．已知f (x )＝x 7

＋ax 5

＋bx －5，且f (－3)＝5，则

f (3)＝( )

A ．－15

B ．15

C ．10

D ．－10

解析：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值．设g (x )＝x 7

＋ax 5

＋bx ，则g (x )为奇函数，

∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，

∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15，故选A. 答案：A

4．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )

A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)＜f (2)

B ．f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (2)

C ．f (2)＜f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32

D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32＜f (－1) 解析：本题主要考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小．因为f (x )为偶函数，所以f (2) ＝f (－2)，又－2＜－3

2

＜－1，且函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－

2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)，即f (2)＜f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32＜f (－1)，故选D. 答案：D 二、填空题

5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

2x ，x ＜0，g x ，x ＞0，

若f (x )是奇函数，则

g (2)的值是________．

解析：∵f (x )是奇函数， ∴g (2)＝f (2)＝－f (－2)＝4. 答案：4

6．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则f (a 2

＋1)与f (a )的大小关系是________．

解析：∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34

＞0，∴a 2

＋1＞a ，

又f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2

＋1)＜f (a )． 答案：f (a 2

＋1)＜f (a )

7．若函数f (x )＝x 2

－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析：∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，

∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2

－|－x ＋a |＝x 2

－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0. 答案：0 三、解答题

8．已知y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2

＋4x －1. (1)求y ＝f (x )的解析式；

(2)画出y ＝f (x )的图象，并指出y ＝f (x )的单调区间． 解：(1)设x ＞0，则－x ＜0，

∴f (－x )＝(－x )2

＋4(－x )－1＝x 2

－4x －1，

又y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2

＋4x ＋1.

又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋4x －1x ＜x ＝

－x 2＋4x ＋x ＞

(2)

先画出y ＝f (x )(x ＜0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＞0)的图象，其图象如图所示．

由图可知，y ＝f (x )的单调递增区间为(－2,0)及(0,2]，单调递减区间为(－∞，－2]及(2，＋∞)．

9．证明函数f (x )＝x 2

＋1是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 证明：f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称．

f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，所以f (x )是偶函数．

设0≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 2

1＋1)－(x 2

2－1)＝x 2

1－x 2

2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)． ∵x 1＋x 2＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即

f (x 1)＜f (x 2)．

所以f (x )＝x 2

＋1在[0，＋∞)上是增函数． 10．定义在(－1,1)上的函数f (x )满足： ①对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝

f ⎝

⎛⎭

⎪

⎫x ＋y 5＋3xy ；

②f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫14＝－1. (1)求f (0)的值； (2)求证：f (x )为奇函数； (3)解不等式f (2x －1)＜1.

(1)解：令x ＝y ＝0，得2f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.

(2)证明：令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，所以f (x )为奇函数．

(3)解：因为f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫14＝－1，f (x )为奇函数，所以 f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14

＝1，