高等数学曲线积分与曲面积分斯托克斯定律环流量与旋度

∫ 且
( x,y,z)
u( x, y, z) =
Pdx + Qdy + Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
用定积分表示为 u( x, y, z)
∫x
= x0 P( x, y0 , z0 )dx
y
∫+ y0 Q( x, y, z0 )dy ∫z
+ R( x, y, z)dz. z0
z
M(x, y,z)
Σ
Σ
Σ
∴ ∫∫ dydz + dzdx + dxdy = 3∫∫ dσ
Σ
Dxy
y
Dxy如图
1
∫Γ zdx +
xdy +
ydz
=
3 2
Dxy o
x 1
例 2 计算曲线积分
∫ ( y2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y2 )dz Γ
其中Γ是平面 x + y + z = 3截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2
定理2 设区域 G 是空间一维单连通域， 函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、R( x, y, z) 在 G 内具有一阶 连续偏导数，则表达式 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内 成为某一函数 u( x, y, z) 的全微分的充分必要条 件是等式 ∂P = ∂Q , ∂Q = ∂R , ∂R = ∂P 在 G 内恒成立． ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z
−
∂R ∂x
)dzdx
+
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 Γ
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
积分学四大公式的比较 :
∫ Newton − Leibnitz公式 : b df dx = f ( x) b a b
∫∫
Σ
(
∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
(∂P ∂z
−
∂R ∂x
)dzdx
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 Γ
n
右手规则
∑
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
边界曲线
证明 如图
z
设Σ与平行于z 轴的直线
n ∑ :z = f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
−
∂R )dzdx ∂x
Σ
∫ +
∂P (
−
∂Q )dxdy
=
Pdx + Qdy + Rdz.
∂y ∂x
∂Σ
∂Σ
二、Stokes公式的简单的应用
例 1 计算曲线积分∫Γ zdx + xdy + ydz,
其中Γ是平面 x + y + z = 1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则.
i jk 旋度 rotA = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z PQR
= (∂R − ∂Q)i + (∂P − ∂R) j + (∂Q − ∂P )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
旋度的物理意义
取Σ为以 M为中心的一个圆盘，其 正侧单位法向量为 n0，Σ的面积为 A, e 0是∂Σ正向的单位向量，则积 分
+
∂2u ∂z 2
=
∆u.
(2) 设A = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k, 则
∇ • A = ( ∂ i + ∂ j + ∂ k ) • (Pi + Qj + Rk ) ∂x ∂y ∂z
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )cosγdS
即
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )dxdy
∂ ∂y
P[ x,
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y,
f
( x,
y)] =
∂P ∂y
+
∂P ∂z
⋅
fy
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
∫= Pdx + Qdy + Rdz .. 故有结论成立. Γ
∫∫
Σ
(∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
(∂P ∂z
−
∂R ∂x
)dzdx
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
便于记忆形式
斯托克斯公式
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
PQ R
另一种形式
cosα cos β cosγ
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
PQR
其中n = {cosα ,cos β ,cosγ }
∫∫
Σ
(∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
(
∂P ∂z
积分中值定理
M
由 rot F ⋅ n 0 可见，当 rot F的方向与 n 0的方向一致 M
时， rot F ⋅ n 0 = rot F .即
M
M
向量场 F的旋度方向 rot F是使得向量场绕其旋
转时环量最大的方向。 旋度刻划了向量场的
涡旋方向及强度。
斯托克斯公式的又一种形式
∫∫
Σ
[(∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)cosα
+
(∂P ∂z
−
∂R ) cos ∂x
β
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)cosγ
]dS
= ∫ (P cosλ + Q cos µ + Rcosν )ds Γ
其中
Σ的单位法向量为 n = cosα i + cos β j + cosγ k ,
Γ的单位切向量为 t = cos λ i + cos µ j + cosν k
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
∫Γ
P(
x,
y,
z
)dx,
空间有向曲线
同理可证
∫∫
Σ
∂Q ∂x
dxdy
−
∂Q ∂z
dydz
=
∫Γ
Q(
x,
y,
z
)dy,
∫∫
Σ
∂R ∂y
dydz
−
∂R ∂x
dzdx
=
∫Γ
R(
x
,
y,
z
)dz
,
∫∫
Σ
(∂R ∂y
−
∂Q )dydz ∂z
+
(∂P ∂z
−
∂R )dzdx ∂x
刚体上每一点处的线速度构成一个
线速场,则向量r = OM
= {x, y, z}在点M 处的线速度
L ω
o
v
M
解 由力学知道点 M 的线速度为
i jk
v = ω × r = ω1 ω2 ω3
xyz
由此可看出旋 度与旋转角速 度的关系.
观察旋度 rot v = {2ω1, 2ω2 , 2ω3} = 2ω .
+ (−2 x − 2 y )dxdy
=−
2 3
∫∫
Σ
(4x
+
2
y
+
3z)dS
=
−2∫∫
D
(x
−
y
+
6)dxdy
= −12∫∫ dxdy = −24.
D
三、空间曲线积分与路径无关的条件
斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关 的条件． 注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭 曲线的曲线积分为零．
Γ = ∫CA ⋅ ds = ∫C Pdx + Qdy + Rdz
称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 .
利用stokes公式, 有
i jk
环流量
Γ
=
∫CA ⋅
ds
=
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ⋅ dS ∂z
PQR
2. 旋度的定义:
i jk 称向量 ∂ ∂ ∂ 为向量场的旋度 (rotA) .
∂x ∂y ∂z PQR
0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x + y + z = 3 2
的上侧被Γ 所围成的部分. 则 n = 1 {1,1,1}
3
z
n
Σ
o
x
Γ
y
即 cosα = cos β = cosγ = 1 ,
3
1
1
1
3
∴ I = ∫∫ Σ
M0( x0 , y0 , z0 )
O y
M1( x, y0 , z0 )
x
M2( x, y, z0 )
其中 M ( x0 , y0 , z0 ) 为 G 内某一定点， 点 M(x, y,z)∈G.
四、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场 A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分
向量微分算子
定义
∇=
∂i+
∂
j+
∂ k
∂x ∂y ∂z
也称为 ∇(Nabla)算子或哈密顿(Hamilton)算子.
运用向量微分算子
(1) 设u = u( x, y, z), 则
∇u
=
∂u ∂x
i
+
∂u ∂y
j
+
∂u ∂z
k
=
gradu;
∇2u
=
∇
•
∇u
=
∇
•
gradu
=
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y2
∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ e 0ds
∂Σ
∂Σ
∫ 反映了 F绕∂Σ的旋转强度，1 F ⋅ ds是环流量关于面 A ∂Σ
积A的平均值。
极限
∫ ∫∫ lim 1 F ⋅ ds = lim 1 rot F ⋅ n 0dS
A Σ → M ∂Σ
A Stokes 定理 Σ → M Σ
= rot ⋅ n 0
Γ
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 o
y
影.且所围区域Dxy. x
Dxy C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∵
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
∫∫ (
Σ
∂P ∂z
cos
β
−
∂P ∂y
cosγ
)dS
又∵ cos β = − f y cosγ , 代入上式得
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ t ds 或∫∫ (rotA)n dS = ∫Γ Atds
Σ
Σ
其中
(rotA)n = rotA ⋅ n
=
(∂∂Ry
−
∂Q ∂z
)
cosα
+
(∂∂Pz
−
∂R ∂x
)
cos
β
+
(∂∂Qx
−
∂P ∂y
)cosγ
At = A ⋅ n = P cos λ + Q cos µ + Rcosν
§7. 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯公式
定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ 是以
Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与 Σ
的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z),
R( x, y, z)在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
∴ 环流量 Γ = ∫∫ rotA ⋅ dS = ∫Γ Atds Σ
Stokes公式的物理解释:
向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场 A的旋度场通过Γ所张的曲面的通量.( Γ的正 向与Σ 的侧符合右手法则)
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个
轴转动,其角速度ω = (ω1 ,ω2 ,ω3 ),
a dx
a
Green公式:
∫∫
D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫
∂D
Pdx
+
Qdy;
∂D
D
Gauss
公式
:
∫∫∫
Ω
(
∂P ∂x
+ ∂Q ∂y
+ ∂R )dV ∂z
∂Ω
Ω
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ;
∂Ω
Stokes公式 :
∫∫
Σ
( ∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
( ∂P ∂z
解 按斯托克斯公式, 有
∫Γ zdx + xdy + ydz
dydz dzdx dxdy
z
1
n
= ∫∫ Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
0 Dxy
y 1
zxy
1
x
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
Σ
由于Σ的法向量的三个方向余 弦都为正，
则∫∫ dydz = ∫∫ dzdx = ∫∫ dxdy
dxdy
=
− ∫∫
Dxy
∂ ∂y P[ x,
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式
∫∫ ∫ − ∂ P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy ∂y
c
即
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
∫cP[
x,
y,
f
(
x,
y)]dx
2
平面有向曲线
∂ ∂x
y2 − z2
3 ∂
∂y z2 − x2
3
x+ y=3
∂ dS
Dxy
2
∂z
x+ y=1
2
x2 − y2
=−
4 3
∫∫
Σ
(
x
+
y + z)dS
(∵在Σ上x + y + z = 3) 2
=−
4 3
⋅
3 2
∫∫
Σ
dS
=
−2
3 ∫∫
Dxy
3dxdy = − 9 . 2
例（3 2001 年数学一考研题， 8分）计算
∫ I = ( y 2 − z 2 )dx + (2 z 2 − x 2 )dy + (3 x 2 − y 2 )dz
L
其中 L是平面 x + y + z = 2与柱面 x + y = 1的交线，
从 z轴正向看， L为逆时针方向。
解： I = ∫∫（ − 2 y − 4 z） dydz + (−2 z − 6 x )dzdx Stokes 公式 Σ
问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？
定理1 设空间开区域 G 是一维单连通域，函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、R( x, y, z) 在 G 内具有一阶
连续偏导数，则空间曲 线积分∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线 积分为零）的充分必要 条件是等式 ∂P = ∂Q , ∂Q = ∂R , ∂R = ∂P 在 G 内恒成立． ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z