线性代数讲义4_特征值与二次型PPT课件

i 1
k2
(1) | A | l1 ln;
(2) l1
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ln a11 a22
ann . A 的迹, 记为 tr(A).
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中 c1 (a11 a22 ann ).
| P1 | | l E A | | P | | l E A |
推论 若对角阵L 是 A 的相似矩阵, 则L 以 A 的特征值 为对角元素.
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练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>>
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解 方阵 A 的特征多项式为
l 9 2 2 | l E A | 2 l 6 4
2 4 l 6
l9 2
0 l9 2
0
2 l 6 l 10 4 l 2 0
2 4 l 10 2 4 l 10
(l 10)(l 2 11l 10) (l 1)(l 10)2
方阵 A 的特征值为
l1 1,l2 l3 10.
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练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>>
• 对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性
无关的特征向量,
称属于 l 的线性无关特征向量组.
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中 c1 (a11 a22 ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式.
an1 an2
l ann
n
n
n
(l ann ) bkl nk l n ( aii )l n1 ckl nk
k2
i 1
k2
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中 c1 (a11 a22 ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式.
1 2 2
1 2 2
10E A 2 4 4 r 0 0 0
• 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程.
cn
注: 方阵 A 的特征多项式也记为 | AlE | , 除了可能差 一个负号外与 |lE A| 并无本质性的差异.
l a11 a12 | l E A | a21 l a22
a1n a2n
(l a11 )
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解 当 l1 1 时, 解方程组 (E A)x 0. 由
8 2 2 1 1/ 4 1/ 4 1 0 1/ 2
E A 2 5 4 r 0 9 / 2 9 / 2 r 0 1 1
2 4 5
0 9 / 2 9 / 2
0 0 0
得基础解系
1
p1
2 2
❖ 方阵的特征值与特征向量
ห้องสมุดไป่ตู้
设 A 为方阵, 如果存在数 l 和非零向量 p, 使
那么称数 l 为 A 的特征值,
Ap l p
称非零向量 p 为 A 对应于
特征值 l 的特征向量.
• p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即 p 为方
程组 (lE A) x 0 的任一非零解.
• l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE A | 0.
cn
• 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程.
• 在复数范围内, n 阶方阵有 n 个特征值(重根按重数算).
• 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值,
| l E A | (l l1)
❖ 特征值的性质
则有
n
n
(l ln ) l n ( l i )l n1 ckl nk
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式.
cn
• 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程.
❖ 定理2 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).
证明 设 A 与 B 相似, 即有可逆阵 P, 使
P 1AP B, 故
| l E B | | l E P 1AP | | P1(l E A)P |
❖ 相似矩阵
设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使
则称 B 是 A 的相似矩阵.
P 1AP B
称 P 为相似变换矩阵.
• 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.
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❖ 可相似对角化方阵的多项式计算
若存在可逆矩阵 P, 使 P1AP 为对角矩阵 L, 则称
方阵 A 可相似对角化.
此时有
A PLP 1, Ak PLk P 1, f ( A) Pf (L)P 1
而对于对角阵 L diag(l1,…, ln),
有
Lk diag (l1k , , lnk ), f (L) diag[ f (l1), , f (ln )]
由此可方便地计算 A 的多项式.
❖ 定理1 n阶方阵 A与对角阵 L diag(l1,…, ln) 相似
因此, 方阵 A 对应于 l1 1 的全部特征向量为 k1 p1 (k1 0).
方阵 A 的特征值为
l1 1,l2 l3 10.
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练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>>
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解 当 l2 l3 10 时, 解方程组 (10E A)x 0. 由
线性代数讲义4 特征值与二次型
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相似矩阵
设 f ( x) an xn a1x a0 , 记 f ( A) an An a1A a0E
称 f (A) 为方阵 A 的多项式.
对于方阵
B P 1AP, 有
Bk P 1Ak P, f (B) P 1 f ( A)P
的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1,…, pn 满足
提示:
Api li pi (i 1, , n)
当 P ( p1,…, pn )可逆时,
P1AP L 的充要条件
是 AP PL.
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AP ( Ap1, , Apn ), PΛ (l1 p1, ,ln pn )
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方阵的特征值与特征向量