电磁场 (2)

2
K jax
+
1.5
K jaz
e e −0.2π y − jπ (1.2 x−1.6 z)
V/m
HK = j 1 ∇ × EK ωμ
（1）—— 2 分 （2）—— 2 分
（3）—— 2 分
[ ] =
j
1 ωμ
⎛ ⎜ ⎝
∂ ∂x
K ax
+
∂ ∂y
K ay
+
∂ ∂z
K az
⎞ ⎟
×
⎠
2
K jax
+ 1.5
2d1
2 d12 + d22
2d2 ⎥⎦
=
ρl
⎡ ⎢ln
2d1d2
⎤ ⎥
2πε0 ⎢⎣ a d12 + d22 ⎥⎦
故导线与地面之间单位长度的电容为：
( ) C = ρl =
2πε 0
ϕ ln (2d1d2 ) − ln a d12 + d22
（4）—— 2 分 （5）—— 1 分
[ ] 五．（12 分）一平面波，其电场强度为：
静电场：ϕ1 = ϕ2 恒流场：ϕ1 = ϕ2
ε1
∂ϕ1 ∂n
−ε2
∂ϕ2 ∂n
= −ρs
σ1
∂ϕ1 ∂n
=σ2
∂ϕ2 ∂n
或： ε1
∂ϕ1 ∂n
=
ε2
∂ϕ2 ∂n
3．请叙述均匀平面波在导电媒质中的传播特性。 （5 分）
1）传播常数（波数）为复数，（或波阻抗为复数，）（或电场和磁场不是同相位）； 2）电场和磁场的振幅（电磁能量）（呈指数）衰减，（或电磁波存在衰减）； 3）电磁波的相速与频率有关，出现色散现象；
（4）—— 1 分 （5）—— 1 分
K k0
⋅
HK
=
(
K 0.6ax
−
K 0.8az
)
⋅
⎡⎣−aKx
j0.3π
−
K ay
5π
+
K az
j0.4π ⎤⎦
j1 ωμ
e e −0.2π y − jπ (1.2 x−1.6 z)
≠ 0 （6）——
1分
此平面波的传播方向与电场垂直，与磁场不垂直，因此此波不是 TEM 波。（7）—— 1 分
解： （1）用安培环路定律：
R1 < r < R2 :
H1
+
H2
=
I πr
⇒
B1 μ1
+
B2 μ2
=
I πr
，
图 2（题三图） （1）—— 1 分
且有边界条件 B1 = B1n = B2n = B2
K B1
=
K B2
=
K aϕ
μ1μ2 μ1 + μ2
⋅I πr
=
K B
∫ 所以： L = Φ = ∫ I
解：
（1）这是个一维问题，电位方程满足：
d 2ϕ dx2
=
0
媒质 1 中：ϕ1 ( x) = A1x + A2 ；媒质 2 中：ϕ2 ( x) = B1x + B2 。
媒质 1 和媒质 2 中的电场分别为：
K E1
=
−aKx
dϕ1 dx
=
−aKx A1；
K E2
=
−aKx
dϕ2 dx
=
−aKx B1 。
（1）—— 2 分 （2）—— 1 分
根据边界条件有:
⎧x = 0：ϕ1 = A2 = 0
⎪ ⎪ ⎨ ⎪
x x
= =
d1 + d2：ϕ2 = d1：ϕ1 = A1d1
B1 (d1 + d2 ) +
+ A2 = B1d1 +
B2 B2
=U = ϕ2
⎪⎩x = d2：J1 = 0 = −σ 2B1 = J2
9．谐振腔的固有品质因数的定义为：在谐振频率上，谐振腔中的平均电磁储能与一个振荡周期内谐 振腔本身的能量损耗之比的 2π倍。 (2 分)
10．（请填变大、变小或不变）若谐振腔腔壁金属的电导率减小，其品质因数将_变小_；若谐振腔填 充媒质的损耗增加，其品质因数将_变小_。 (2 分)
请在题二、题三、题四中任选两道。
KK
(3) 此波为 TE 波， Ex 与 Ez 相位差为 0，极化特性为一线极化波。
（8）—— 2 分
( ) 六．（20 分）一均匀平面波自空气（
若入射波的磁场为： HK i =
K 3ax
+
K az
ε0 ej
， μ0 ）向理想介质（ (2x−2 3z) A/m 。
ε
=
4ε 0
，μ
=
μ0
）表面（
z
=
来自百度文库
K 3ax
+
K az
e j2(x− 3z) A/m ，
K ki
=
−2aKx
+
2
K 3az
⇒
ki
=
4
ω = vpki = C0ki = 3×108 × 4 = 12 ×108 rad/s
（1）—— 2 分
kt = ω μ2ε2 = 2ki = 8 λ = 2π = π = 0.785 m
kt 4
2．
cosθi
ln
r0 r
（2）—— 1 分
根据镜像法，其镜像线电荷分布如图所示。原点电位为 0，R0 为导线到原点的距离，因此导线表面上 的电位为：
y
−ρl
o
ρl
ρl
x
−ρl
（3）—— 2 分
ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4
=
ρl
⎡ ⎢ln
R0
− ln
R0
+ ln
R0
− ln
R0
⎤ ⎥
2πε0 ⎢⎣ a
解:
[ ] (1)
由电场强度可知， EK =
2
K jax
+ 1.5
K jaz
e e −0.2π y − jπ (1.2 x−1.6 z)
V/m
β = π 1.22 +1.62 = 2π rad/m
K k0
=
1.2π
K ax
−1.6π
K az
β
=
K 0.6ax
−
K 0.8a z
[ ] (2) 由电场强度可知， EK =
=
K az
K ⋅ k0
=
K az
⎛ ⋅⎜⎜⎝ −
1 2
K ax
+
3 2
K az
⎞ ⎟⎟⎠
=
3 2
（2）—— 2 分 （3）—— 2 分
⇒ θi = 30°
k1 sinθi = k2 sinθt
θt
=
⎛ arcsin ⎜
⎝
k1 sinθi k2
⎞ ⎟ ⎠
=
arcsin
1 4
= 14.48D
3．
K ki0
⇒
⎧ ⎪
A1
⎨
=
U d1
；A2
=
0
⎪⎩B1 = 0；B2 = U
所以：ϕ1 ( x)
=
U d1
x ；ϕ2
(x)
=
U；
K E1
=
−aKx
dϕ1 dx
=
−aKx
U； d1
K E2
=
−aKx
dϕ2 dx
= 0 。（3）——
2分
（2）两介质分界面上存在自由面电荷。
（4）—— 1 分
( ) ρs = nK ⋅
KK D1 − D2
=
( −aKx
)
⋅
K D1
=
ε1U d1
（5）—— 1 分
四．（7 分）如图 3 所示，半径为 a 的长直导线架在空中（可看作无限长）,导线与墙和地平面平行, 导线距墙和地平面的距离分别为 d1 和 d2，且 d1>>a， d2>>a。若墙体和地面均可视为半无限大理想 导体平面。
K jaz
e e −0.2π y − jπ (1.2x−1.6 z)
=
j1 ωμ
⎡⎣−aKx j0.3π
−
K ay
5π
+
K az
j0.3π ⎤⎦ e−0.2π ye− jπ (1.2x−1.6z)
( ) [ ] K
k0
⋅
EK
=
K 0.6ax
−
K 0.8az
⋅
K 2 jax
+
1.5
K jaz
e e = 0 −0.2π y − jπ (1.2x−1.6z)
EK =
2
K jax
+ 1.5
K jaz
e− jπ (1.2 x− j 0.2 y−1.6 z)
V/m 。
K
1．求此平面波的传播方向 k0 、相位常数 β ； (4 分)
2．求该平面波电磁场的复数表达式；(3 分)
3．请问此平面波是否为 TEM 波，并给出理由？ (3 分)
4．求此平面波的极化特性。 (2 分)
K ay
cos
ωt + 2x − 2
3z
V/m
（5）—— 2 分 （6）—— 1 分
4．由于分界面是 z=0（XOY）平面，且入射面为 XOZ 平面，所以为垂直极化波的斜入射，
EKi0
=
−240π
K ay
V/m ， sinθt
=
1, 4
cosθt =
15 4
， Z2 =
Z0 = Z1 =60π Ω εr2 2
上海交大电磁场复习题
一．简答和填空 (35 分)
1．请写出复数形式的麦克斯韦方程以及电流连续性方程。 (5 分)
∇ × HK = JK + jωDK ; ∇ × EK = − jωBK ∇ ⋅ BK = 0; ∇ ⋅ DK = ρ; ∇ ⋅ JK = − jωρ
或积分形式
2．请分别写出标量电位在静电场和恒流电场中两种不同媒质分界面上的边界条件。 (4 分)
∇⋅
K A
=
−με
∂ϕ
。
(2 分)
∂t
6．电磁波由无限大媒质 1（ε1，μ0）向无限大媒质 2（ε2，μ0）的分界面上斜入射，能够发生全
反 射 的 媒 质 条 件 为 ε1 > ε2 ， 临 界 角 为 arcsin ε2 ε1 ； 布 鲁 斯 特 角 为 arcsin ε2 (ε1 + ε2 ) 或
二．（7 分）同轴线如图 1 所示，内导体半径为 R1，外导体半径为 R2，外导体厚度可忽略不计。内外 导体间填充有磁导率分别为 μ1 和 μ2 的两种不同的磁介质，设同轴线内导体上通过的电流为 I。求：
1．同轴线内外导体间的单位长度的自感；
2．同轴线内外导体间的单位长度的磁场储能。
图 1（题二图）
试用镜像法求此导线与地面（零电位）之间单位长度的电容。（须给出镜像图示）
ρl
图 3（题四图）
解：对于单根无限长直导线，由高斯定理得：
ER
⋅
2π
r
=
ρl ε0
⇒
ER
=
ρl 2πε 0 r
，
（1）——
1分
则若设距离导线 r0 处为零电位点，则单根无限长直导线的电位为：
∫ ϕ =
r0
r ERdr
=
ρl 2πε 0
4．请描述垂直极化波由空气向理想导体平面斜入射时，入射波与反射波的合成波的特性。(5 分)
1) 沿分界面切线方向（z 向）传输的平面波； 2) 沿分界面法线方向（x 向）为驻波分布； 3）对于传输方向而言，为横电波。 4）合成波的相速大于无限大空间相速，为快波。
5．矢量磁位的库仑规范为：
K ∇ ⋅ A = 0 ；矢量磁位的洛仑兹规范为：
R⊥
=
Z2 Z2
cosθ1 cosθ1
− +
Z1 Z1
cosθ2 cosθ2
= cosθ1 − 2 cosθ2 cosθ1 + 2 cosθ2
= 1− 1+
5 = −0.382 5
T⊥ = 1+ R⊥ = 0.618
或
T⊥
=
Z2
2Z2 cosθ1
cosθ1 + Z1 cosθ2
=2 1+
= 0.618 5
（7）—— 2 分
Er0 = R⊥Ei0 = −0.382 ⋅(−240π ) = 91.68π = 288.0 V/m
Et0 = T⊥Ei0 = 0.618 ⋅(−240π ) = −148.32π = −466.0 V/m
EKr
K − jki (− xsinθi −z cosθi ) = a E e y r0
R2 Bdr
R1
=
μ1μ2
⋅
I
μ1 + μ2
( ) R2 1 dr = μ1μ2 ln R2
R1 π r
π μ1 + μ2 R1
（2）内外导体间的单位长度的储能为：
Wm
=
1 2
LI 2
=
μ1μ2 I 2
2π ( μ1 + μ2
)
ln
R2 R1
（2）—— 1 分 （3）—— 1 分 （4）—— 2 分 （5）—— 2 分
=
K ay
E r
0e−
j
2(−
x−
3z)
=
K ay
288.0e
j 2(
x+
3z)
V/m
（8）—— 2 分
EKt
K − jkt (− xsinθt + z cosθt ) = a E e y t0
=
K ay
Et
0
−
e
j
⎛ 8⎜⎜⎝
−
1 4
x
+
15 4
z
⎞ ⎟⎟⎠
= −aKy 466.0e j2(x−
=
K ki ki
=
−
1 2
K ax
+
3K 2 az
EKi
=
ZHK i
K × k0
（4）—— 2 分
( ) EKi = 120π
K 3ax
+
K az
e j2(x−
3z
)
×
⎛ ⎜⎜⎝
−
1 2
K ax
+
3 2
K az
⎞ ⎟⎟⎠
=
−240π
K aye
j
2( x−
3z)
V/m
( ) K
Ei
(t
)
=
−240π
arctan ε2 ε1 。 (3 分)
7．在不同的波导中可以传播不同模式的导波。根据导波的电磁场分布可以将导波分为 TE 波、TM 波、 TEM 波以及混合模。其中，TEM 波不能被空心矩形波导传播。 (5 分)
8．（请填大于、小于或等于）在同一矩形波导中，TE11 模的截止频率 等于 TM11 模的截止频率；如 果在矩形波导中某一工作频率可以同时传输 TE10 模和 TE20 模，则 TE10 模的波导波长_小于 __TE20 模的波导波长。 (2 分)
0 ）斜入射。
1．求此平面波的角频率以及在此理想介质中的波长；（4 分）
2．求入射角θi 和折射角θt ；（4 分）
3．给出入射波电场强度的瞬时表达式；（3 分）
4．给出折射波电场强度的复数表达式；（6 分）
5．求从分界面上每单位面积进入理想介质中的平均功率。（3 分）
解：
( ) 1． 由 HK i =
三．（7 分）如图 2 所示，极板面积为 S 的平行电容器上外加电压 U，两极板间填充有两种电介质， 介质 1 为理想介质，其厚度、介电常数为：d1、ε1；介质 2 为导电媒质，其厚度、介电常数和电导率 别为：d2、ε2、和 σ2。
(1) 试用电位方程求解介质 1 和 2 中的电场分布；
(2) 两种电介质分界面上是否有自由面电荷？若有，求之。