席位分配问题
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位增加1席，对A 不公平。 计算对A 的相对不公平值
p1 n1 p2 (n2 + 1) p1 ( n2 + 1) rA ( n1 , n2 + 1) = = 1 p2 (n2 + 1) p2 n1
若rB (n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1),
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1
1032 1(1 + 1) 632 1(1 + 1) 342 1(1 + 1) = 5304.5, = 1984.5, = 578
i
i
Q1 = Q2 = Q3 =
Q1 = Q2 = Q3 =
1032 2(2 + 1) 632 1(1 + 1) 342 1(1 + 1)
每席位代表的人数 103/10=10.3 63/6=10.5 34/4=8.5
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33
公平程度 中 好 差 当
一般地， 单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A B
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 。（不公平 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后， 惯例分配方法 按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按比例分配完取整数的名额后 按惯例分给小数部分较大者。 按惯例分给小数部分较大者。
n1 , n 2 ,
= 1, 2 , , m
开始，即每方 至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把 它排除在外。）
p Qi = i = 1,2, , m ni ( ni + 1) 则1 席应分给Q值最大的一方。从 ni = 1
2 i
5 举例 甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？ pi2 Qi = i = 1,2,3 值方法： 按Q值方法： 值方法 n ( n + 1)
对B 的相对不公 平值；
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 3 建模
r A , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 若A、B两方已占有席位数为 n 1 , n 2 , 用相对不公平值 讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p1 p2 不失一般性， 若 > ， 有下面三种情形。 n1 n2
情形1 情形1 情形2 情形2
p1 p2 > ， n1 + 1 n2 p1 p2 < ， n1 + 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
p2 n2 p1 (n1 + 1) p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = = 1 p1 ( n1 + 1) p1n2 p1 p2 > ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 + 1 情形3 情形3
举例 甲、乙、丙三系各有人数100，60，40，有21个 席位，如何分配？
甲 乙 丙 100 1 60 2 40 4 50 3 30 6 20 10 33.3 25 5 7 20 8 15 12 20 9 12 16 8 16.7 14.3 11 13 10 18 6.7 8.7 12.5 15 11.1 10 17 19 9.1 21 8.3
定义“相对不公平”
p1 p2 若 > ， 则称 n1 n2 p1 n1 p2 n2 p1n2 rA (n1 , n2 ) = = 1 p2 n2 p2 n1
对A 的相对不公 平值；
同理，可定义对B 的相对不公平值为：
p1 p2 若 < ， 则称 n1 n2 p2 n2 p1 n1 p2 n1 rB (n1 , n2 ) = = 1 p1 n1 p1n2
= 888 . 4 = 661 . 5
= 5 78
= 5 78
甲 乙 丙
1 1 1
4 5 9
6 8 15
7 12 21
10 14
11 18
13
16 17
19
20
甲：11，乙：6，丙：4
6 d’Hondt方法 方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1, 2, 3, …分别除以每单位的人数；从 所得的数中由大到小取前 n 个（这n 个数来自 各个单位人数用自然数相除的结果）；则这n 个数中有几个是由哪个单位总人数所得的结果 则该单位所分席位就为几个。
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34
103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3 34/200=17.0% 17.0%20=3.4
现象1 丙系虽少了6 但席位仍为4 。（不公平 不公平！） 现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = 1 p1n2
p1 ( n2 + 1) rA (n1 , n2 + 1) = 1 p2 n1
p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) < p1n2 p2 n1
p2 2 n2 (n2 + 1)
<
p 12 n1 (n1 + 1)
(*)
结论：当 结论 当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之， 单位。 反之，应分配给 B 单位。
= 1768.2 = 1984.5, = 578
Q1 = Q2 = Q3 =
103 2 2 ( 2 + 1) 63 2 2 ( 2 + 1) 34 2 1(1 + 1)
= 1 768 . 2 = 661 .5
Q1 = Q2 = Q3 =
103 2 3( 3 + 1) 63 2 2 ( 2 + 1) 34 2 1(1 + 1)
二 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？ 1 问题的提出 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 m 表示某单位的席位数 p p 表示某单位的人数 m = q×
N
N q
表示总人数 表示总席位数
20个席位的分配结果 20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 所占比例 63/200=31.5% 分配方案 (50/100)20=10 (30/100)20=6 (20/100)20=4 分配方案 31.5%20=6.3 席位数 10 6 4 席位数 10 6 4
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果 21个席位的分配结果 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 63/200=31.5% 分配方案 31.5%21=6.615 席位数 11 7 3
103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815 34/200=17.0% 17.0%21=3.570
13.3 10 14 20
甲：11，乙：6，丙：4
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？
甲 乙 丙 103 1 63 2 34 5 51.5 3 31.5 6 17 11 34.3 4 21 8 11.3 17 25.8 7 16.8 12 8.5 20.6 9 12.6 15 6.8 17.1 10 10.5 18 5.7 14.7 13 9 21 12.9 14 11.4 16 10.3 19 9.4 20
甲：11，乙：7，丙：3 思考1：比较三种方法的优缺点？ 思考 ：比较三种方法的优缺点？ 思考2：你能给出更公平的席位分配方案吗？ 思考 ：你能给出更公平的席位分配方案吗？
p1
p2
n1
p1
n1 n2
p1 p2 = n1 n2
席位分配公平
n2
p2
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断
1)
p1 p2 称为“绝对不公平”标 准。 n1 n2
人数p 席位数n
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位
每席位代 表的人数
12 10 102 100
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？ 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数 每席位代表的人数来衡量。 每席位代表的人数
系别 甲 乙 丙 系别 甲 乙 丙 人数 103 63 34 人数 100 60 40 席位数 10 6 4 席位数 10 6 4 每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10 公平程度 中 差 好
若A、B两方已占有席位数为 记
则增加的一个席位应分配给Q 较大的一方。 则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法 Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 A i 方人数为 p i ，已占有 n i个席位，i 当总席位增加1 席时，计算
pi2 Qi = i = 1,2 ni ( ni + 1)
绝对不公平标准
A B C D
120 100 1020 1000
10 10 10 10
12-10=2
102-100 =2
C,D的不公平程度大为改善！ C,D
2） 相对不公平
p n
表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。 则A吃亏,或对A 是不公平的。
p1 p2 > n1 n2
p1 n1 p2 (n2 + 1) p1 ( n2 + 1) rA ( n1 , n2 + 1) = = 1 p2 (n2 + 1) p2 n1
若rB (n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1),
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1
1032 1(1 + 1) 632 1(1 + 1) 342 1(1 + 1) = 5304.5, = 1984.5, = 578
i
i
Q1 = Q2 = Q3 =
Q1 = Q2 = Q3 =
1032 2(2 + 1) 632 1(1 + 1) 342 1(1 + 1)
每席位代表的人数 103/10=10.3 63/6=10.5 34/4=8.5
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33
公平程度 中 好 差 当
一般地， 单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A B
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 。（不公平 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后， 惯例分配方法 按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按比例分配完取整数的名额后 按惯例分给小数部分较大者。 按惯例分给小数部分较大者。
n1 , n 2 ,
= 1, 2 , , m
开始，即每方 至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把 它排除在外。）
p Qi = i = 1,2, , m ni ( ni + 1) 则1 席应分给Q值最大的一方。从 ni = 1
2 i
5 举例 甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？ pi2 Qi = i = 1,2,3 值方法： 按Q值方法： 值方法 n ( n + 1)
对B 的相对不公 平值；
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 3 建模
r A , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 若A、B两方已占有席位数为 n 1 , n 2 , 用相对不公平值 讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p1 p2 不失一般性， 若 > ， 有下面三种情形。 n1 n2
情形1 情形1 情形2 情形2
p1 p2 > ， n1 + 1 n2 p1 p2 < ， n1 + 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
p2 n2 p1 (n1 + 1) p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = = 1 p1 ( n1 + 1) p1n2 p1 p2 > ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 + 1 情形3 情形3
举例 甲、乙、丙三系各有人数100，60，40，有21个 席位，如何分配？
甲 乙 丙 100 1 60 2 40 4 50 3 30 6 20 10 33.3 25 5 7 20 8 15 12 20 9 12 16 8 16.7 14.3 11 13 10 18 6.7 8.7 12.5 15 11.1 10 17 19 9.1 21 8.3
定义“相对不公平”
p1 p2 若 > ， 则称 n1 n2 p1 n1 p2 n2 p1n2 rA (n1 , n2 ) = = 1 p2 n2 p2 n1
对A 的相对不公 平值；
同理，可定义对B 的相对不公平值为：
p1 p2 若 < ， 则称 n1 n2 p2 n2 p1 n1 p2 n1 rB (n1 , n2 ) = = 1 p1 n1 p1n2
= 888 . 4 = 661 . 5
= 5 78
= 5 78
甲 乙 丙
1 1 1
4 5 9
6 8 15
7 12 21
10 14
11 18
13
16 17
19
20
甲：11，乙：6，丙：4
6 d’Hondt方法 方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1, 2, 3, …分别除以每单位的人数；从 所得的数中由大到小取前 n 个（这n 个数来自 各个单位人数用自然数相除的结果）；则这n 个数中有几个是由哪个单位总人数所得的结果 则该单位所分席位就为几个。
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34
103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3 34/200=17.0% 17.0%20=3.4
现象1 丙系虽少了6 但席位仍为4 。（不公平 不公平！） 现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = 1 p1n2
p1 ( n2 + 1) rA (n1 , n2 + 1) = 1 p2 n1
p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) < p1n2 p2 n1
p2 2 n2 (n2 + 1)
<
p 12 n1 (n1 + 1)
(*)
结论：当 结论 当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之， 单位。 反之，应分配给 B 单位。
= 1768.2 = 1984.5, = 578
Q1 = Q2 = Q3 =
103 2 2 ( 2 + 1) 63 2 2 ( 2 + 1) 34 2 1(1 + 1)
= 1 768 . 2 = 661 .5
Q1 = Q2 = Q3 =
103 2 3( 3 + 1) 63 2 2 ( 2 + 1) 34 2 1(1 + 1)
二 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？ 1 问题的提出 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 m 表示某单位的席位数 p p 表示某单位的人数 m = q×
N
N q
表示总人数 表示总席位数
20个席位的分配结果 20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 所占比例 63/200=31.5% 分配方案 (50/100)20=10 (30/100)20=6 (20/100)20=4 分配方案 31.5%20=6.3 席位数 10 6 4 席位数 10 6 4
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果 21个席位的分配结果 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 63/200=31.5% 分配方案 31.5%21=6.615 席位数 11 7 3
103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815 34/200=17.0% 17.0%21=3.570
13.3 10 14 20
甲：11，乙：6，丙：4
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？
甲 乙 丙 103 1 63 2 34 5 51.5 3 31.5 6 17 11 34.3 4 21 8 11.3 17 25.8 7 16.8 12 8.5 20.6 9 12.6 15 6.8 17.1 10 10.5 18 5.7 14.7 13 9 21 12.9 14 11.4 16 10.3 19 9.4 20
甲：11，乙：7，丙：3 思考1：比较三种方法的优缺点？ 思考 ：比较三种方法的优缺点？ 思考2：你能给出更公平的席位分配方案吗？ 思考 ：你能给出更公平的席位分配方案吗？
p1
p2
n1
p1
n1 n2
p1 p2 = n1 n2
席位分配公平
n2
p2
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断
1)
p1 p2 称为“绝对不公平”标 准。 n1 n2
人数p 席位数n
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位
每席位代 表的人数
12 10 102 100
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？ 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数 每席位代表的人数来衡量。 每席位代表的人数
系别 甲 乙 丙 系别 甲 乙 丙 人数 103 63 34 人数 100 60 40 席位数 10 6 4 席位数 10 6 4 每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10 公平程度 中 差 好
若A、B两方已占有席位数为 记
则增加的一个席位应分配给Q 较大的一方。 则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法 Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 A i 方人数为 p i ，已占有 n i个席位，i 当总席位增加1 席时，计算
pi2 Qi = i = 1,2 ni ( ni + 1)
绝对不公平标准
A B C D
120 100 1020 1000
10 10 10 10
12-10=2
102-100 =2
C,D的不公平程度大为改善！ C,D
2） 相对不公平
p n
表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。 则A吃亏,或对A 是不公平的。
p1 p2 > n1 n2