圆锥曲线的极坐标的统一形式
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1、圆锥曲线的极坐标的统一形式
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
A
K
F B
x
eP 整理得： 1 e cos
称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
1、有一个椭圆，它的极 坐标方程是 5 5 A、＝ , B、 3－2 cos 3 3 cos 2 3 cos 5 C、 , D、＝ 5 2－ 3 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
(
B
)
4、
解：
另解：
O
x
极坐标小节
M ( , )
o
x
设M是平面内一点，极点 O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做 M ( , )
球坐标系在地理学、天 文学中有着广泛的 应用，在测量实践中， 球坐标中的角称为 被测点P(r , , )的方位角， 90 －称为高低角
0
z
P (r , , )
r
o
x Q
y
5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线 过焦点的弦中通径最短，其长为2P。
M来自百度文库
O N
x
证明：
一般地，极坐标系 ( , )与( , 2k )表示同一 个点，特别地，极点 O的坐标为(0, )( R) 和直角坐标不同，平面 内一个点的极坐标有无 数种表示。
如果规定 0,0 2 , 那么除极点外，平面 内的点可用唯一的极坐 标( , )表示，同时，极 坐标( , )表示的点也是唯一确定
(
D
)
2：确定方程 表示曲线的离心 率、焦距、长短轴长。
P
· O
x
3 c 3 a c a 5 5 且还有a 2 b 2 c 2 2 10 b 10 2 b c 3 3 c 25 15 得a , c 8 8
5 3、椭圆 的长轴长是 3 2 cos
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平 面极坐标系与空间直角坐标系中的部 分建立起来的。
z
P ( , , z )
o
x Q
y
把上述对应关系的坐标 系叫做球坐标系（或空 间 记作P(r , , ), 其中r 0,0 ,0 2
极坐标系），有序数组 (r , , )叫做点P的球坐标，
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系， 有 序数组( , , z )叫做P的柱坐标，记作 P ( , , z ), 其中 0， 0 2，－ z
x cos，y sin
由①又可得到下面的关系式：
①
y x y， tan ( x 0) x
2 2 2
②
这就是极坐标与直角坐标的互化公式。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
负极径
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 极径是负的，等于极角增加 。负极径的 负用来表示方向，比较看来，负极径比正极 径多了一个操作，将射线OP反向延长。而 反向延长可以说成旋转 ，因此，所谓负 极径实质是管方向的。这与数学中通常的习 惯一致，用负表示方向。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
A
K
F B
x
eP 整理得： 1 e cos
称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
1、有一个椭圆，它的极 坐标方程是 5 5 A、＝ , B、 3－2 cos 3 3 cos 2 3 cos 5 C、 , D、＝ 5 2－ 3 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
(
B
)
4、
解：
另解：
O
x
极坐标小节
M ( , )
o
x
设M是平面内一点，极点 O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做 M ( , )
球坐标系在地理学、天 文学中有着广泛的 应用，在测量实践中， 球坐标中的角称为 被测点P(r , , )的方位角， 90 －称为高低角
0
z
P (r , , )
r
o
x Q
y
5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线 过焦点的弦中通径最短，其长为2P。
M来自百度文库
O N
x
证明：
一般地，极坐标系 ( , )与( , 2k )表示同一 个点，特别地，极点 O的坐标为(0, )( R) 和直角坐标不同，平面 内一个点的极坐标有无 数种表示。
如果规定 0,0 2 , 那么除极点外，平面 内的点可用唯一的极坐 标( , )表示，同时，极 坐标( , )表示的点也是唯一确定
(
D
)
2：确定方程 表示曲线的离心 率、焦距、长短轴长。
P
· O
x
3 c 3 a c a 5 5 且还有a 2 b 2 c 2 2 10 b 10 2 b c 3 3 c 25 15 得a , c 8 8
5 3、椭圆 的长轴长是 3 2 cos
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平 面极坐标系与空间直角坐标系中的部 分建立起来的。
z
P ( , , z )
o
x Q
y
把上述对应关系的坐标 系叫做球坐标系（或空 间 记作P(r , , ), 其中r 0,0 ,0 2
极坐标系），有序数组 (r , , )叫做点P的球坐标，
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系， 有 序数组( , , z )叫做P的柱坐标，记作 P ( , , z ), 其中 0， 0 2，－ z
x cos，y sin
由①又可得到下面的关系式：
①
y x y， tan ( x 0) x
2 2 2
②
这就是极坐标与直角坐标的互化公式。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
负极径
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 极径是负的，等于极角增加 。负极径的 负用来表示方向，比较看来，负极径比正极 径多了一个操作，将射线OP反向延长。而 反向延长可以说成旋转 ，因此，所谓负 极径实质是管方向的。这与数学中通常的习 惯一致，用负表示方向。