二维随机变量的数字特征PPT

Y 的分布律为
Y
1
0
1
p
0.3
0.4
0.3
得 E ( Y ) 1 0 . 3 0 0 . 4 1 0 . 3 0 .
5
二、二维连续型随机变量的数学期望
定 义设 连 续 型 随 机 变 量 X的 密 度 函 数 为 f(x),
如 果 积 分xf(x)dx绝 对 收 敛 ， 则 称 该 积 分 值
解 X和Y 的联合概率密度为
6x2y, 0x1 ,0y1 ,
f(x,y) 0 ,
其 . 他
13
三、随机变量函数的数学期望
E( X Y )
1
1xy6x2ydxdy
00
( x y ) 6 x 2 y d x d y (x y ) 6 x 2 y d x d y
D 1
D 2
1百度文库
dx
x(xy)6x2ydy
G
1
2(1x)
dx xdy
1
0
0
3
0
1
x
E(Y)
yf(x,y)dxdy
1
dx
2(1x)
ydy
2
G
0
0
3
8
三、随机变量函数的数学期望
E(Y)E[g(X)]
g(xk)pk,
k1
X离 散 型
g(x)f(x)dx, X连 续 型
该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时, 不 必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了. 这 给求随机变量函数的期望带来很大方便.
9
三、随机变量函数的数学期望
定理2 设g (X,Y) 是随机变量X、Y的函数，且
E[g(X,Y)]存在
(1) 如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分
布为 pij , i,j=1,2, …，则
E (Z)E [g(X ,Y)] g(xi,yj)pij
j1i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度
1. 15
p 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1 (X,Y) (1,1) (1,0) (1,1) (2,1) (2,1) (3,0) (3,1) (XY)2 4 1 0 9 1 9 4
得 E [ X ( Y ) 2 ] 4 0 . 3 1 0 . 2 0 0 . 1 9 0 . 4
15
cD(2X 1) cx(1x) 0x1
X: f(x) 0
其 他
四、随机向量的方差
随 机 变 量 (X,Y):
4xy0x1,0y1
f(x,y) 0
其 他
求 ： D(2X3Y)
16
四、随机向量的方差
D ( X Y ) D ( X ) D ( Y ). D ( X Y ) E {X [ Y ) ( E ( X Y ) 2 } ]
为 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 (均 值 )， 即
EX xf(x)dx
若 积 分 x f ( x ) d x 发 散 ， 则 称 X 的 数 学 期 望 不 存 在 .
6
二、连续型随机变量的数学期望
设(X, Y)为二维连续型随机变量，则
E(X)
xfX(x)dx
xf(x,y)dxdy
i1 i1
3
一、离散型随机向量的数学期望
例1 设 ( X , Y ) 的分布律为
YX
1
2
1
0.2
0.1
0
0.1
0
1
0.1
0.1
求 E(X), E(Y).
解X p
1
2
0.4
0.2
3 0 0.3 0.1
3
0.4
得 E ( X ) 1 0 . 4 2 0 . 2 3 0 . 4 2 .
4
一、离散型随机向量的数学期望
E(X)EX xkpk k1
2
一、离散型随机向量的数学期望
定 义 设 ( X ,Y )为 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 分 布 律 为
P (X x i,Y y j) p ij,ij 1 ,2 ,3 L
E(X)EX (xi pij)
i1 j1
E(Y)EY (yi pij)
E {X [ E (X ) ] [ Y E (Y )2 ]} E [ X E ( X ) ] 2 E [ Y E ( Y ) ] 2 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } 2 E ( X Y X E Y Y E X E X E Y ) 2 [ E ( X Y ) E X E Y E Y E X E X E Y ] 2 [ E ( X Y ) E X E Y ]
随机变量的数字特征
数学期望
1
一、离散型随机向量的数学期望
定 义 设 X 为 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 分 布 律 为
P (X x k ) p k ,k 1 ,2 ,3 L
若 级 数xkpk绝 对 收 敛 ， 则 称 级 数xkpk的 和 为
k1
k1
随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 (或 均 值 )， 记 作
(X,Y) (1,1) (1,0) (1,1) (2,1)(2,1) (3,0) (3,1) Y X 1 0 1 1 2 1 2 0 1 3
11
三、随机变量函数的数学期望
于是 E Y X 1 0 .2 0 0 .1 1 0 .1 1 2 0 .1 1 2 0 .1 0 0 .3 1 3 0 .1
5.
12
三、随机变量函数的数学期望
例11 甲、乙两人相约于在某 12地 :00~13:00会面,
设X,Y 分别是甲、乙到达间的 ,且时设X和Y相互独
立,已知X,Y的概率密度分别为
3x2, 0 x1,
2y, 0 y 1,
fX(x)
0,
其他.
fY(y) 0, 其他.
求先到达者需要等时待间的的数学期 . 望
为 f(x, y)，则
E (Z )E [g(X ,Y) ]g(x,y)f(x,y)dxdy
10
三、随机变量函数的数学期望
例3 设 ( X , Y ) 的分布律为
YX
1
2
3
1
0.2
0.1
0
0
0.1
0
0.3
1
0.1
0.1
0.1
求 E (YX ), E [(XY)2].
解
p 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1
00
1dx1(xy)6x2ydy 0x
1 1 12 6
1(小时). 4
14
四、随机向量的方差
方差的定义
D X V a r(X )E (X E X )2
DX (xk EX)2pk k1
D X(xE X)2f(x)dx
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 .]
二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但 需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公 式求解方差。
E(Y)
yfY(y)dy
yf(x,y)dxdy
7
二、连续型随机向量的数学期望
例2 设(X, Y)服从G上的均匀分布，其中G为xoy平
面内由x轴、y轴及 x y 1 围城的三角区域.
2
y
求 E(X)，E(Y).
解
f(x,
y)10,,
(x, y)G (x, y)G
2
y2(1x)
G
E(X)xf(x,y)dxdy