最新三垂线定理ppt课件

证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习与作业
1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，
A1 D
A
C1 B1
C B
C1 B1
C B
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
P
解
A Oa
题α
回
顾 A1
C1 B1
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
3.经过一个角的顶点引这个角
B
所在平面的斜线，如果斜线和
这个角两边的夹角相等，那么
C1
斜线在平面上的射影是这个角
的平分线所在的直线。
D1
4.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面BC1D
C D
P
A H C
B1 A1
B A
结束语
谢谢大家聆听！！！
25
求证：∠BAO=∠CAO
P
分析： 要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
?
?
?
A
EB O
证明： ∵ PO ⊥
C
∴OE、OF是PE、PF在内的射影 F
∵ PE=PF
∴ OE=OF
由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB
结 论 成
同理可得OF⊥AC
立
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
则EF与GD所成的角的大小为（ D ）
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°
D1 A1 ED A
F
C1 B1 G MC B
EB1是EC1在平面AB1 内的射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
影，则 a⊥b
（ ×） D
C
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
A
B
影则a⊥b
（× ） 面ABCD →面α
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
则 a⊥b
（√
）
面直直面直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCCB→→→→1→→→→垂面斜斜垂面斜面线α线线线α线β baaba
三垂线定理ppt课件
这是偶然的巧合，还是必然？
cos·cos=cos
A
=∠AOB
=∠DOB
=∠AOD
O
BM
ED
P
A
Oa
AE⊥OD
？
PO⊥ a
？
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，
求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC
M是BC的中点
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直 于a在平面α内的射影，则 a⊥b
已知：PA，PO分别是平 面 的垂线和斜线，AO
l P
是PO在平面 的射影，
a , a ⊥AO，
A Oa
l 平行于 a 。
α
求证： l 垂直于PO
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
C A
M B
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 A1
证明：∵在正方体AC1中
D
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C A
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 D1
由三垂线定理知 A1C⊥BC1
同理可证， A1C⊥B1D1
解 去掉，结论仍然成立 吗？
但 b不垂直于OP
题
P
b
回 顾
直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不
在平面内，定理就 不一定成立。
Oa
αA
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆百度文库定 理
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 三垂线定理是平面 的一条斜线与平面内的 P
题 直线垂直的判定定理， 回 这两条直线可以是：
顾 ①相交直线
②异面直线
e dc
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA