破圈法vs避圈法

1 3; c 1
3 6; c 4
6 4; c 2
3 2; c 5 2 5; c 3
最终得到的最小生成树如图 1.1.3 所示。
图 1.1.2 带权图 G
图 1.1.3 带权图 G 的最小生成树示意图
1.1.1.2 Kruskal 算法 给定无向连通带权图 G = (V, E), V = {1,2,...,n}。Kruskal 算法构造 G 的最小生成树的基 本思想是： (1) 将 G 的 n 个顶点看成 n 个孤立的连通分支，并将所有的边按权从小到大排序； (2) 从第一条边开始，依据每条边的权值递增的顺序检查每一条边，并按照下述方法连 接两个不同的连通分支：当查看到第 k 条边(v, w)时，如果端点 v 和 w 分别是当前两个不同 的连通分支 T1 和 T2 的端点时，就用边(v, w)将 T1 和 T2 连接成一个连通分支，然后继续查 看第 k+1 条边；如果端点 v 和 w 在当前的同一个连通分支中，就直接查看第 k+1 条边，这 个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时，已构成 G 的一棵最小生成树。 仍以图 1.1.2 所示的带权图 G 为例说明其最小生成树的生成过程，生成过程如下所示：
边。由于权值为 1、2、3、4 的边分别连接着独立的节点，故都必须保留，得到的最小生成
图 1.1.5 去掉权值为 5 的 G 的示意图
树结果与图 1.1.3 也是一样的。
1.1.3 避圈法与破圈法比较
Prim 算法是从空图出发，将点进行二分化，从而逐步加边得到最小生成树。它是近似 求解算法， 虽然对于大多数最小生成树问题都能求得最优解， 但相当一部分求得的是近似最 优解，具体应用时不一定很方便。但是它可以看作是很多种最小树算法的概括，在理论上有 一定的意义。 Kruskal 算法也是从空图出发。它是精确算法，即每次都能求得最优解，但对于规模较 大的最小生成树问题，求解速度较慢。 破圈法是从图 G 出发，逐步去边破圈得到最小生成树。它最适合在图上工作，当图较 大时，可以几个人同时在各个子图上工作，因此破圈法在实用上是很方便的。
Hale Waihona Puke Baidu
1 3; c 1
4 6; c 2
2 5; c 3 3 6; c 4
2 3; c 5
最终得到的最小生成树和图 1.1.3 所示是一样的。
1.1.2 破圈法
破圈法可以描述如下： (1) 如果我们给的连通图 G 中没有回路，那么 G 本身就是一棵生成树； (2) 若 G 中只有一个回路，则删去 G 的回路上的一条边（不删除结点） ，则产生的图仍 是连通的且没有回路，则得到的子图就是图 G 的一棵生成树； (3) 若 G 的回路不止一个，只要删去每一个回路上的一条边，直到 G 的子图是连通没 有回路且与图 G 有一样的结点集，那么这个子图就是一棵生成树。 由于我们破坏回路的方法可以不一样， 所以可得到不同的生成树， 但是在求最小生成树 的时候，为了保证求得的生成树的树权最小，那么在删去回路上的边的时候，总是在保证带 权图仍连通的前提下删掉权值较大的边， 保留权值较小的边。 破圈法就是在带权图的回路中 找出权值最大的边，将该边去掉，重复这个过程，直到图连通且没有圈为止，保留下来的边 所组成的图即为最小生成树。下面仍利用图 1.1.2 对破圈法进行说明。 首先是去除权值大的边，并且检测去除该边后整个图是否连通，对于图 1.1.2 来说，即 第一步去掉权值为 6 的边，如图 1.1.4 所示。
1.1.1 避圈法
避圈法的主要思想就是：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从与已选边不构成 圈的那些未选边中，选择一条权最小的（每一步中，如果有两条或两条以上的边都是权值最 小的边，则从中任选一条） 。避圈法主要分为两种：Prim 算法和 Kruskal 算法，下面分别进 行介绍。 1.1.1.1 Prim 算法 设 G = (V, E)是连通带权图， V = {1,2,…,n}。 构造 G 的最小生成树 Prim 算法的基本思想 是：首先置 S = {1}，然后，只要 S 是 V 的真子集，就进行如下的贪心选择：选取满足条件 i∈S, j∈V – S，且 c[i][j]最小的边，将顶点 j 添加到 S 中。这个过程一直进行到 S = V 时为 止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成 G 的一棵最小生成树。图 1.1.2 显示了某一带权 图。最小生成树的生成过程如下：
1.1
最小生成树
最小生成树： 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图， 且包含原图中
的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边，如图 1.1.1 所示。
图 1.1.1 最小生成树示意图
设 G = (V, E)是无向连通带权图， 即一个网络。 E 中的每一条边 （v, w） 的权为 W(v, w)。 如果 G 的子图 G’是一棵包含 G 的所有顶点的树，则称 G’为 G 的生成树。生成树上各边权 的总和称为生成树的耗费。 在 G 的所有生成树中， 耗费最小的生成树称为 G 的最小生成树。
图 1.1.4 去掉权值为 6 的 G 的示意图
从图中可以看出，去掉权值为 6 的边后整个图仍是连通的。所以接下来去除权值为 5 的边，并且检测去除该边后图是否连通，结果如图 1.1.5 所示。由图可知，去掉所有权值为 5 的边会造成图 G 不连通，因此 2 3; c 5 这条边是必须保留的。然后再去除权值为 4 的