4.2平行线分线段成比例(2014年秋北师大版)
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m A₁ A₂ A₃ n m a b A₁ A₂ A₃ n B₁
B₁
B₂ B₃
a
b c
C₁
C₂
B₂ B₃
c
归纳：
推论：
平行于三角形一边的直线与其他两 边相交，所截得的对应线段成比例
如图，在△ABC中，直线m ∥BC且分别交AB、 AC与点E、F，有哪些成比例线段
A E F
m B
C
例1：填空
A D B E
（1）∵ AB∥DE
CD （ CE ） AC
C
（ BC ） BE （ AD） ∴ ＝ ＝ ＝ AD （ BE ） CD （ CE ） BC （ AC ） D A （2）∵ AD∥EF ∥BC
∴
AG GC
＝
（ AE）
（ BE）
＝
（ DF ） （ FC ） B
E G
F C D C
（2）已知平行四边形ABCD AB （ DF） CF （ DF） 则 ＝ ＝ AE （ DE） FB （ EF ）
L4 L5 A D B E C F
“对应”是数学的基本概念， 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推出如下结 论之一：
L1 L2
L3
Βιβλιοθήκη Baidu
AB DE （1） BC EF 简称“上比下”等于“上比下” AB DE （2）AC DF 简称“上比全”等于“上比全”
BC EF （3） AC DF 简称“下比全”等于“下比全”
2.比例的基本性质 ⑴.如果 a∶b ＝c∶d ，那么a ·d ＝b ·c. ⑵如果 a ·d ＝b ·c (a、b、c、d都不等于0)， 那么 a ∶b ＝c ∶d
回顾复习
3.合比性质 a c 如果 ＝ b d 4.等比性质
a±b c ± d 那么 ＝ b d
c a e m … 如果 ＝ ＝ ＝ ＝ d b f n (b＋d＋d＋＋n≠0) a a＋c＋e＋…＋m ＝ 那么 d b＋d＋f＋…＋n
2 4 2
5
A1 A2 2 1 , A2 A3 4 2 4
4 5
B1 B2 5 1 . B2 B3 4 5 4
A1 A2 B1 B2 . A2 A3 B2 B3
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
（2)将ｂ向下平移到如下图的位置，直线ｍ， ｎ与直线ｂ的交点分别为A₂，B₂ 。你在问题 （１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移 到其他位置呢？
A
E B
F C
课堂练习：
A
6 D 9 B EC＝（
A 4 E
B
12
D
15
E
10
F 9
G
C ）
C
AE＝（
）
GC＝（
）
课堂练习：
已知：EG∥BC，GF∥CD 求证： AE ＝ AB
AF AD
E
A
F G D
B
C
L4 L5
√基本图形1
L1
L2 L3
L5 L4
√基本图形2
L1
L2 L3
L5
L4
√基本图形3
L1
L2 L3
L5
L4
√基本图形4
L1
L2 L3
L5
√ 基本图形5 L4
L1
L2 L3
L5
√ 基本图形6 L4
L1
L2 L3
小结：
1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例 2、推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截
得的对应线段成比例。
F A
B E
例2：计算
已知，如图，a∥ b∥ c，AB＝3，DE＝2，EF＝4, 求:AC的长
m A
n D E a b c
B
C
F
例3:如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。 （1）如果AE＝7 ，EB＝5，FC＝4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB＝10 ，AE＝6，AF＝5.那么FC的长是多少？
探究活动一
如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c, 分别交直线m,n于 A₁，A₂，A₃，B₁，B₂，B₃ 。
探究活动一
（1）计算 A₁A₂ 与 B₁B₂
A₂A₃
B₂B₃
A₁A₂ B₁B₂ 与 A₁A₃ B₁B₃
的值，你有什么发现
探究活动
如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分 别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论。
（３）在平面上任意作三条平行线，用它 们截两条直线，截得的线段成比例吗？
m n
A₁ A₂
A₃
B₁ B₂ B₃
a
b
c
探究活动二
如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。过点A1作直线n的平行 线，分别交直线b，c于点C2，C3。如(图4 ），图 4中有哪些成比例线段？
北师大版九年级数学上册
学习目标
1.了解平行线分线段成比例这个基本事实
产生的过程
2.掌握由平行线分线段成比例所得的推论
3.会用平行线分线段成比例的事实和推论
解决相关的计算和证明问题
回顾复习
1.比例线段的概念：
四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ∶b=c ∶d，那么这四条 线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
平行线分线段成比例定理:
两条直线被一组平行线所截， L4 L5 所得的对应线段成比例
A D E F
定理的符号语言
B C
L1 L2
L3
L1//L2//L3
AB
BC
=
DE
EF
AB DE 或 AC DF
BC EF 或 AC DF
议一议： 1.如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
B₁
B₂ B₃
a
b c
C₁
C₂
B₂ B₃
c
归纳：
推论：
平行于三角形一边的直线与其他两 边相交，所截得的对应线段成比例
如图，在△ABC中，直线m ∥BC且分别交AB、 AC与点E、F，有哪些成比例线段
A E F
m B
C
例1：填空
A D B E
（1）∵ AB∥DE
CD （ CE ） AC
C
（ BC ） BE （ AD） ∴ ＝ ＝ ＝ AD （ BE ） CD （ CE ） BC （ AC ） D A （2）∵ AD∥EF ∥BC
∴
AG GC
＝
（ AE）
（ BE）
＝
（ DF ） （ FC ） B
E G
F C D C
（2）已知平行四边形ABCD AB （ DF） CF （ DF） 则 ＝ ＝ AE （ DE） FB （ EF ）
L4 L5 A D B E C F
“对应”是数学的基本概念， 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推出如下结 论之一：
L1 L2
L3
Βιβλιοθήκη Baidu
AB DE （1） BC EF 简称“上比下”等于“上比下” AB DE （2）AC DF 简称“上比全”等于“上比全”
BC EF （3） AC DF 简称“下比全”等于“下比全”
2.比例的基本性质 ⑴.如果 a∶b ＝c∶d ，那么a ·d ＝b ·c. ⑵如果 a ·d ＝b ·c (a、b、c、d都不等于0)， 那么 a ∶b ＝c ∶d
回顾复习
3.合比性质 a c 如果 ＝ b d 4.等比性质
a±b c ± d 那么 ＝ b d
c a e m … 如果 ＝ ＝ ＝ ＝ d b f n (b＋d＋d＋＋n≠0) a a＋c＋e＋…＋m ＝ 那么 d b＋d＋f＋…＋n
2 4 2
5
A1 A2 2 1 , A2 A3 4 2 4
4 5
B1 B2 5 1 . B2 B3 4 5 4
A1 A2 B1 B2 . A2 A3 B2 B3
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
（2)将ｂ向下平移到如下图的位置，直线ｍ， ｎ与直线ｂ的交点分别为A₂，B₂ 。你在问题 （１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移 到其他位置呢？
A
E B
F C
课堂练习：
A
6 D 9 B EC＝（
A 4 E
B
12
D
15
E
10
F 9
G
C ）
C
AE＝（
）
GC＝（
）
课堂练习：
已知：EG∥BC，GF∥CD 求证： AE ＝ AB
AF AD
E
A
F G D
B
C
L4 L5
√基本图形1
L1
L2 L3
L5 L4
√基本图形2
L1
L2 L3
L5
L4
√基本图形3
L1
L2 L3
L5
L4
√基本图形4
L1
L2 L3
L5
√ 基本图形5 L4
L1
L2 L3
L5
√ 基本图形6 L4
L1
L2 L3
小结：
1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例 2、推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截
得的对应线段成比例。
F A
B E
例2：计算
已知，如图，a∥ b∥ c，AB＝3，DE＝2，EF＝4, 求:AC的长
m A
n D E a b c
B
C
F
例3:如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。 （1）如果AE＝7 ，EB＝5，FC＝4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB＝10 ，AE＝6，AF＝5.那么FC的长是多少？
探究活动一
如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c, 分别交直线m,n于 A₁，A₂，A₃，B₁，B₂，B₃ 。
探究活动一
（1）计算 A₁A₂ 与 B₁B₂
A₂A₃
B₂B₃
A₁A₂ B₁B₂ 与 A₁A₃ B₁B₃
的值，你有什么发现
探究活动
如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分 别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论。
（３）在平面上任意作三条平行线，用它 们截两条直线，截得的线段成比例吗？
m n
A₁ A₂
A₃
B₁ B₂ B₃
a
b
c
探究活动二
如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。过点A1作直线n的平行 线，分别交直线b，c于点C2，C3。如(图4 ），图 4中有哪些成比例线段？
北师大版九年级数学上册
学习目标
1.了解平行线分线段成比例这个基本事实
产生的过程
2.掌握由平行线分线段成比例所得的推论
3.会用平行线分线段成比例的事实和推论
解决相关的计算和证明问题
回顾复习
1.比例线段的概念：
四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ∶b=c ∶d，那么这四条 线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
平行线分线段成比例定理:
两条直线被一组平行线所截， L4 L5 所得的对应线段成比例
A D E F
定理的符号语言
B C
L1 L2
L3
L1//L2//L3
AB
BC
=
DE
EF
AB DE 或 AC DF
BC EF 或 AC DF
议一议： 1.如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？