第一讲 二 极坐标系

二 极坐标系

一、基础达标

1．设点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为

( )

A.⎝

⎛

⎭⎪⎫2，π4

B.⎝

⎛

⎭⎪⎫2，3π4

C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，5π4

D.⎝

⎛

⎭⎪⎫2，7π4

答案 B

解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．

2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )

A.32＋6

2

B.32－62

C.

36＋32

2

D.

36－32

2 答案 C

解析 极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝

ρ21＋ρ2

2－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.

3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是

( )

A.⎝

⎛

⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π

B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2，53π C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，－43π D.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－2，－π3

答案 D

4．已知点M 的极坐标是⎝

⎛

⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )

A.⎝

⎛

⎭⎪⎫2，

11π6 B.⎝

⎛

⎭⎪⎫－2，7π6

C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，－π6

D.⎝

⎛

⎭⎪⎫－2，－

11π6 答案 B

解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝

⎛

⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－

π

6的终边．

又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延

长线上找到离极点2个单位的点即是点

⎝

⎛

⎭⎪⎫－2，－π6.

直线θ＝π2，就是由极角为π

2的那些点的集合．

故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝

⎛

⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样

的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛

⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.

5．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________．

答案

5

解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ2

2－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2），

得|AB |＝

1＋4－2×1×2cos （3π4－π

4）＝1＋4＋0＝ 5.

6．(2014·陕西卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是

________． 答案 1

解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫θ－π6＝1化为

ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－1

2cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线

12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪12×3－3

2×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫

122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－322＝1.

7．已知点的极坐标分别为(3，π4)，(4，π

2)，求它们的直角坐标；已知点的直角坐标分别为(3，3)，(0，3)，求它们的极坐标． 解 设点P (3，π

4)的直角坐标为(x 1，y 1)，

∵|OP |＝3，θ＝π

4，

∴x 1＝3cos π4＝322，y 1＝3sin π4＝322，可得点(3，π4)的直角坐标为(322，32

2)，

同理可得点Q (4，π

2)的直角坐标为(0，4)， 设M (3，3)的极坐标为(ρ1，θ1)，可得

ρ21＝

33

＋（3）2

＝23，tan θ1＝3

3得θ1＝π6

∴M(3，3)的极坐标为(23，π

6)，

同理可得N (0，3)的极坐标为(3，π

2)．

二、能力提升

8．设点P 对应的复数－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为

( )

A ．(23，π

4) B ．(2，π

4)

C ．(32，3π

4)

D ．(2，2k π＋3π

4)(k ∈Z )

答案 (32，3π

4)

解析 ∵点P 对应的复数为－3＋3i ，则点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离r ＝32，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于3

4π，故点P

的极坐标为(32，3π

4)．

9．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另

外三种极坐标形式为__________．

答案 ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，－53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，43π，⎝ ⎛⎭

⎪⎫－3，－23π

10．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝

⎛

⎭⎪⎫3，π6，则