初高中数学衔接教材教案(5讲) 初高中衔接教材教案(5)一元二次不等式

一元二次不等式的解法

教学过程

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2、一元二次不等式的解法步骤

一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；

（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．

例2 解关于x 的不等式0)1(2

>---a a x x 解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x

若)1(-->a a 即21

>

a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21

若)1(--

1

1

例3 已知不等式2

0(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．

解：由不等式2

0(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知

0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，

∴5,6b c a a

-==，

即 5,6b c

a a

=-=．

由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变为

20b c

x x a a

++< ，

即 －2

560,x x ++<

整理，得

2

560,

x x -->

所以，不等式20bx ax c +->的解是

x ＜－1，或x ＞6

5

．

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习

1．解下列不等式：

（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．

2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2

≤0（a 为常数）．

作业：

1.若0

a

1

)<0的解是 ( )

A.a

a

1 B. a

1

C.x >a 1或x

D.x

1

或x >a

2.如果方程ax 2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x 1，x 2满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2＋bx ＋b ＜0的解是______.

3．解下列不等式：

（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；

（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．

(5)4+3x －2x 2≥0; (6)9x 2－12x >－4;

4．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．

5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122

x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．