高等代数多项式复习

高斯引理、艾森斯坦判别法
三、根的理论
1、基本概念
多项式的根、重根
2、基本性质
(1) 余数定理
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式． (2) 任一 P[ x] 中的 n 次多项式( n 0), 在 P 中的根 不可能多于 n 个，重根按重数计算．
(3) f ( x ), g ( x ) P[ x ], 且 f ( x ) , g ( x ) n, 若有 , , P , 使 f ( i ) g( i ), i 1,2,
则 f ( x ) g( x ).
1
2
n 1
,n 1
n Βιβλιοθήκη Baidu1 f ( x ) a x a x （4 ） 设 n n1
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，而 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的，则必有s | an , r | a0 .
四、多元多项式
1、基本概念 多元多项式、齐次多项式、对称多项式 2、基本性质 对称多项式的基本定理
的一个组合，即 u( x )、v ( x ) P[ x ] ，使
d ( x )=u( x ) f ( x ) v ( x ) g( x ).
(3)互素性质.
二、因式分解理论
1、基本概念 不可约多项式、重因式、本原多项式 2、基本性质
(1) 不可约多项式的性质. (2) 因式分解存在性及唯一性定理； (3) 重因式的性质； (4) 复系数多项式因式分解定理； (5) 实系数多项式因式分解定理； (6) 有理系数不可约多项式的判别
第一章 多项式
主要内容：
整除理论 一、一元多项式 因式分解理论 根的理论 二、多元多项式
一、整除理论（带余除法的特殊情形）
1、基本概念 2、基本性质 (1)整除的性质.
(2)最大公因式存在性质.
整除、最大公因式、互素
定理2
对 f ( x )、g( x ) P[ x ]，在 P[ x]中存在
一个最大公因式 d ( x )，且 d ( x ) 可表成 f ( x )、g( x )
法一： 逐步消去首项法 法二： 待定系数法（针对齐次对称多项式）
数域
一元多项式 带余除法 整除
基本内容联系示意图
多项式函数 综合除法 因式分解 不可约多项式 余数定理 方程的根
最大公因式 复数域 多元多项式
唯一性定理 实数域 有理数域
重因式
代数学基本定理
根与系数
对称多项式基本定理
基本题型
一、整除、互素的判别与证明、最大公因式的求法 二、不可约多项式的性质与判定 三、重因式、重根的判别与证明 四、有理系数多项式不可约的判别、有理根