变速圆周运动分析

杆
O
例题1：如图所示，一质量为m 的小球，用长为L细绳系住，使 其在竖直面内作圆周运动.(1) 若过小球恰好能通过最高点， 则小球在最高点和最低点的速 度分别是多少？小球的受力情 况分别如何？(2)若小球在最低 点受到绳子的拉力为10mg，则 小球在最高点的速度及受到绳 子的拉力是多少？
mg O
练习1：如图所示，一质量为m的 小球，在半径为R 光滑轨道上， 使其在竖直面内作圆周运动.(1) 若过小球恰好能通过最高点，则 小球在最高点和最低点的速度分 别是多少？小球的受力情况分别 如何？(2)若小球在最低点受到 轨道的弹力为8mg，则小球在最 高点的速度及受到轨道的弹力是 多少？
mg O
R
例题3、如图所示，支架的质量 为M，转轴O处用长为L的轻绳悬 挂一质量为 m 的小球.若小球在 竖直平面内做圆周运动，到达 最高点时，恰好支架对地面无 压力.设M=3m.求：（1）小球在 最高点时的速度大小是多少？ （2）支架对地面的最大压力是 多少？
O
M
m
பைடு நூலகம்
练习3、如图所示，支架的质量 为 M ，转轴 O 处用长为 L 的轻绳悬 挂一质量为 m 的小球.若小球在 竖直平面内做圆周运动，到达最 O 高点时，恰好支架对地面的压力 mg.设 M=3m.求：（1）小球在最 M 高点时的速度大小是多少？（2） 改变小球的速度，在保证小球仍 能作圆周运动的前提下，当小球 运动到最低点时，支架对地面的 最小压力是多少？
改变速度大小 改变速度方向
F ma
Fn man
水平面内的匀速圆周运动
竖直平面内的非匀速圆周运动
Fn C
Fn C
F 0
ΣFτ
v
Σ F
Σ Fn
F 0
竖直面 内的圆周运动
1、处理有关圆周运动问题的步骤： ①确定研究对象；②确定做圆运动物 体的轨道平面及圆心位置； ③对研 究对象进行受力分析； ④在向心加 速度方向和垂直于向心加速度方向上 建立直角坐标系，若需要可对物体所 受力进行适当的正交分解； ⑤依据 牛顿运动定律和向心加速度的公式列 方程，解方程，并讨论解的合理性.
要点· 疑点· 考点
2.有物体支撑的小球在竖地面最高点情况. (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰好能 到最高点的临界速度vmin=0. (2)图4-4-2中的小球到达最高点时，轻杆对小球的作用 力情况；
图4-4-2
要点· 疑点· 考点
当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等 于小球的重力，即N=mg；
N
mg
O
练习2：如图所示，一质量为m的 小球，放在一个内壁光滑的封闭 管内，使其在竖直面内作圆周运 动.(1)若过小球恰好能通过最高 点，则小球在最高点和最低点的 速度分别是多少？小球的受力情 况分别如何？(2)若小球在最低 点受到管道的力为6mg，则小球 在最高点的速度及受到管道的力 是多少？
N
2
3．竖直平面内圆周运 动的临界问题：由于 物体在竖直平面内做 圆周运动的依托物 （绳、轻杆、轨道、 管道等）不同，所以 物体在通过最高点时 临界条件不同.
可见 ， 物体在最高点的 最小速度决定于物体在 最高点受的最小合外力， 不同情况下的最小合外 力决定了不同情况下的 最小速度.
N mg O 绳 mg O 杆 N mg O 轨道 mg O 管道
练习5：如图所示，半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上， 顶部有一小物体 A 。今使无初 速度放置在球的最高点,现在 给其一扰动，则物体将（ ） A、沿球面下滑至M点 B、沿球面下滑至某一点 N ， 便离开球面做斜下抛运动 C、立即离开半球面做平抛运 动 D、以上说法都不正确
m R O
N
M
要点· 疑点· 考点
D
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
课 前 热 身
3.如图4-4-3所示，长为L 的轻杆，一端固定着一个 小球，另一端可绕光滑的 水平轴转使小球在竖直平 面内运动，设小球在最高 点的速度为v,则( ) A.v的最小值为 gL B.v若增大，向心力也增大 C.当v由 gL 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大
1.杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平 面内做圆周运动，当杯子到最高点时，里面水也不流出 来，这是因为( )
A.水处于失重状态，不受重力的作用了
B.水受平衡力作用，合力为0 C.水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D.杯子特殊，杯底对水有吸力
C
课 前 热 身
2.乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在 竖直平面内旋转，下列说法正确的是( ) A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住， 没有保险带，人就会掉下来 B.人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小 于mg
变速圆周运动
要点· 疑点· 考点 课 前 热 身
能力· 思维· 方法
延伸· 拓展
要点· 疑点· 考点
一、变速圆周运动的性质 变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方 向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也 时刻在改变，也是变加速曲线运动(注：匀速 圆周运动也是变加速运动).
要点· 疑点· 考点
二、变速圆周运动的特点 由于变速圆周运动的合力一般不指向圆心，所以变速 圆周运动所受的合外力产生两个效果. 1.半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向. 2.切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度 大小.
mg
O 轨道
例题2：如图所示，一质量为m的 小球，用长为L轻杆固定住，使 其在竖直面内作圆周运动.(1)若 过小球恰好能通过最高点，则小 球在最高点和最低点的速度分别 是多少？小球的受力情况分别如 何？(2)若小球在最低点受到杆 子的拉力为5.5mg，则小球在最 高点的速度及受到杆子的力是多 少？
BC
图4-4-3
D.当v由 gL 逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小
能力· 思维· 方法
【例1】如图4-4-4所示，细杆的一 端与小球相连，可绕O点的水平轴自 由转动，现给小球一初速度，使它 做圆周运动，图中a、b分别表示小 球轨道的最低点和最高点，则杆对 球的作用力可能是( ) A.a处为拉力，b处为拉力 B.a处为拉力，b处为推力
当0＜v＜ gr 时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大 小随速度增大而减小，其取值范围是:0＜N＜mg； 当v= gr 时，N=0； 当v＞ gr 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速 度的增大而增大. (3)图4-4-2的硬管对小球的弹力情况，请大家参考杆对 小球的分析自己分析.
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(m1-m2)v20/R+(m1+5m2)g=0.
能力· 思维· 方法
【解析】A球在最低点时作用于管道的作用力一定是竖直 向下的，且二者大小相等设均为N，管壁对两球的作用 力的大小也必为N. 对A球：N-m1g=m1v20/R； 对B球：N+m2g=m2v′2/R. 其中v′为B球通过最高点的瞬时速度，由机械能守恒定律
m
例题4:如图中圆弧轨道AB是在 竖直平面内的1/4圆周，在B点， A 轨道的切线是水平的.一质点 自 A 点从静止开始下滑，不计 滑块与轨道间的摩擦和空气阻 力，则在质点刚要到达 B 点时 的加速度大小为______，刚滑 过B点时的加速度大小为_____.
B
练习4:如图中圆弧轨道 AB 是 在竖直平面内的1/4圆周，在 B 点，轨道的切线是水平的. 一质点自 A 点上方高 h 处从静 止开始下落，不计滑块与轨 道间的摩擦和空气阻力，则 在质点刚要到达B点时的加速 度大小为______，刚滑过B点 时的加速度大小为_____.
A
h
B
例题5：如图所示，半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上， 顶部有一小物体 A 。今给它一 个水平初速度 v0 gR ,则 物体将（ ） A、沿球面下滑至M点 B、沿球面下滑至某一点 N ， 便离开球面做斜下抛运动 C、立即离开半球面做平抛运 动 D、以上说法都不正确
m R O
v0 N
M
能力· 思维· 方法
【解题回顾】杆对球既可能推力又可能是 拉力、而如果杆摸成线，即线对球就只能 是拉力了。
能力· 思维· 方法
【例2】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内， 环的半径为R(比细管半径大得多)在圆管中有两个 直径与细管直径相同的小球.(可视为质点)A球的质 量为m1，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用 于圆管的合力为0，那么m1、m2、R与v0应满足的关系 式是
2．一般竖直面内的圆周运动，物体 所受的合外力除了具有与速度垂直的 法向力以外，还有与速度平行的切向 力，那么物体的速度不仅方向变化， 大小也会变化.对此，高考只要求解 决在最高点和最低点这两个特殊位置 上的动力学问题.关系式依然适用， 只是不同位置对应不同的v或ω而已.
v 2 a r r
延伸· 拓展
【解题回顾】此题是圆周运动与万有引力相结合的 问题，要弄清竖直平面内的圆周运动最高点与最低 点规律与万有引力的应用，而且还要搞清楚此题两 部分是靠什么联系起来的，万有引力应用与某星球 表面上的运动相结合的问题，多数是与此星球的“g” 相联系的，大家可回想第2课时中的例3.
延伸· 拓展
图4-4-7
延伸· 拓展
【解析】最高点F1+mg=mv21/r， 最低点F2-mg=mv22/r.
由机械能守恒定律有
1/2mv21+mg· 2r=1/2mv22， 可得g=△F/m星球表面上质量为m的物体所受重力 等于万有引力，即GMm/R2=mg， M=R2g/G=R2△F/(6Gm).
C.a处为推力，b处为拉力 C.a处为推力，b处为推力
AB
图4-4-4
能力· 思维· 方法
【解析】小球以O点为圆心在竖直面内做圆周运动，在 最低点时，小球除受重力外，还有杆的作用力，由于 合外力提供向心力且指向圆心，杆对小球的作用力只 能向上，所以在最低点，杆对小球只能是拉力 在最高点时，杆对小球可以向下拉，也可以向上 推.当小球速度小于 gl 时，杆对小球向上推，当小球 的速度大于 gl 时，杆对小球向下拉.

竖直平面圆周运动中的临界问题
v2 mg 小球运动到最高点时有： T m r
此时，能够提供的向心力的最小值为mg，所以小 球能够运动到最高点的条件为：
T
mg
绳
O
v gr
0
若小球运动到最高点时，杆对小球的弹力N为零， 则有： v gr
N
mg
当小球运动到最高点的速率v>v0时：N指向圆心; 当v<v0时：N背离圆心。 小球恰好能运动到最高点的条件为v=0。 绳与杆的区别：杆不仅能够起到拉拽作用，而且 能够起到承托作用，但绳只能起到拉拽作用。
m2g· 2R+(1/2)m2v′2=(1/2)m2v20.
由上式可得关系式:(m1-m2)v20/R+(m1+5m2)g=0.
延伸· 拓展
【例4】一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定 该星球的质量M，做如下实验，取一根细线穿过光滑的细 直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固 定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使它在竖直平面内 做完整的圆周运动，停止抡动细直管，砝码可继续在同一 竖直平面内做完整的圆周运动，如图4-4-7所示此时观 察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置 时测力计的读数差为Δ F，已知引力常量为G.试根据题中 所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M.
三、竖直平面内的圆周运动问题的分析 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，高考中经常 有这种模型，时常与能量及动量相结合中学物理中只研究 物体在最高点与最低点的两种情况.主要有以下两种类型： 1.如图4-4-1所示：无支撑物的小球在竖直平面内最高点情况.
图4-4-1
要点· 疑点· 考点
(1)临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力) 刚好等于0，小球在最高点的向心力全部由重力来提供，这 时有mg=mv2min/r，式中的vmin是小球通过最高点的最小速度， 通常叫临界速度vmin= . gr (2)能通过最高点的条件：v＞vmin. (3)不能通过最高点条件v＞vmin，注意的是这是假设到最高 点而做出一个v，其实球没到最高点就脱离了轨道或是沿原 轨道返回或是做斜抛运动了.