矩阵理论及其经济学应用

, n) 排成的一个 m 行 n 列矩形表称为 m n 矩阵，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n am1 am 2 amn
其中元素 aij 的下标表示其位于矩阵的第 i 行和第 j 列，所 以常称 aij 是矩阵的 (i, j ) 元素。
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(a1 , a2 ,, an )
设 两 个
n
维 向 量
= (a1 , a2 ,, an ) ，
= (b1, b2 ,, bn ) ，若 ai ＝ bi (i 1, 2,, n) ，则称向量 与 相等，记作 ＝ 。
显然，两个不同维数的向量不能相等。
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1.1.2 n维向量的运算
n
量 满足 3 －2（ ＋ ）＝0，求向量 。
1 ＝ （3 －2 ） 2 3 ＝ 2, 4,1 3, 1, 2 2 ＝ 6, 5, 1 . 2


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1.1.3 矩阵的概念
1. 矩阵的定义 定义 1.1.3 由 m n 个元素 aij (i 1, 2,, m ， 行矩阵和列矩阵 仅有一行的矩阵为行矩阵，如 A＝ a11,
a12 , , a1n 。
仅有一列的矩阵为列矩阵，如
b11 b21 B＝ 。 b m1
仅有一行或一列的矩阵又常常称为向量。
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2) 零矩阵 若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零矩 阵。 m n 零矩阵常记作 0 ＝（0） mn 或 0。 3) 方阵 行数等于列数的矩阵称为方阵。例如 A＝( aij ) nn 就 是 n n 方阵，A 也称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。在 n 阶方阵 A 中， 经过元素 a11 , a22 , , ann 的线段称为 A 的主对 角线，主对角线上的元素称为 A 的主对角元（素） 。 一阶方阵（ a ）就是元素 a 。
显然， k
＝0 的充分必要条件为 k ＝0 或 ＝0。
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向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。在定 义了向量加法及数乘运算并约定数乘运算中的数为实数以 后，n 维实向量的集合称为 n 维向量空间，记作 R 。 例 1.1.1 设 = 2,4,1 , = (3, 1, 2) ，向 解 因为 3 －2 －2 ＝0，所以
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定义 1.1.4 若矩阵 A＝( aij ) mn 和 B＝( bij ) st 满足
m s ， n t ，即 A 和 B 的行数与列数相等，则称 A 和
B 是同型矩阵。若还有 aij ＝ bij 例 1.1.2
(i 1, 2,, m ，j 1,
2,, n) 则称矩阵 A 和 B 相等，记作 A＝B。
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1.1.1 n维向量的定义
定义 1.1.1 由 n 个数 a1 , a2 ,, an 所组成的有序数组 称为一个 n 维向量， 数 ai i 1, 2,, n 称为这个向量 的第 i 个分量。 分量都是实数的向量称为实向量。 分量都是 复数的向量称为复向量。 n 维向量常用希腊字母 ， ， 等表示。 分量全为零的分量称为零向量，记为 0，即 0 ＝ (0, 0, , 0) 。 的负向量，记为 。 向 量 (a1 , a2 ,, an ) 称 为 向 量 = (a1 , a2 ,, an )
定 义 1.1.2 设
n 维 向 量 = (a1 , a2 ,, an ) 和 = (b1, b2 ,, bn ) ，称向量 (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 为 与 的和，称向量 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn ) 为 与 的
已知矩阵 A＝B，其中
a 2 3 c 2 b A＝ 1 b ，B＝ b c d 求 a ，b ，c ， d 。 解 因为 A B ，由矩阵相等的定义知 a ＋2＝ c －2， 3＝ b ，－1＝ b ＋ c ， b －1＝ d ， 所以 a ＝－8， b ＝3， c ＝－4， d ＝3。
差，记作
＋ = (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) - = (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 设 k 为常数， 称向量 (ka1 , ka2 ,, kan ) 为 k 与 的数量乘积， 简称数乘，记作 k ，即 k (ka1 , ka2 ,, kan )
第1章 矩阵理论及其经济学应用
第1章 矩阵理论及其经济学应用


1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
向量和矩阵 线性代数方程组 矩阵特征值与矩阵标准分解 二次型 静态线性经济模型的均衡分析 静态投入产出模型分析
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1.1 向量和矩阵

1.1.1 n维向量的定义 1.1.2 n维向量的运算 1.1.3 矩阵的概念 1.1.4 矩阵的运算 1.1.5 行列式 1.1.6 逆矩阵 1.1.7分块矩阵 1.1.8 初等变换与初等矩阵
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4) 三角矩阵 n 阶方阵 A＝( aij ) nn 的元素满足如下条件，当 i j 时， aij ＝0，即 A 的主对角线以下的元素都是零，则称 A 为上三角矩阵，类似地，当 i j 时， aij ＝0，即 A 的主对 角线以上的元素都是零，则称 A 为下三角矩阵。 5) 对角矩阵 主对角线以外的元素都为零的方阵为对角矩阵。 对角矩 阵又可记为 diag[a11 , a22 ,, ann ] ， 其中 a11 , a22 ,, ann 是主 对角线上的元素。 特别，主对角元相等的对角矩阵为数量矩 阵， 而主对角元都是 1 的 n 阶数量矩阵又称为 n 阶单位矩阵， 记作 I n 或 I 。
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矩阵也常简记为 ( aij ) mn 如不需要表示矩阵的元素时，通常用大写的英文字母 A， B，C 等表示矩阵。 元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素属于复数的矩 阵称为复矩阵。 由矩阵 A 的某行的 n 个元素组成的 n 维向量叫做 A 的 行向量， 由矩阵 A 的某列的 m 个元素组成的 m 维向量叫做 A 的列向量，因此矩阵 A 有 m 个行向量， n 个列向量。一 般行向量横写，列向量竖写。