组合数学求解递推关系2

错位排列 :
Dn ( n 1)( Dn-1 Dn-1 )
二阶变系数线性齐次式。
Dn nDn-1 ( 1)n
一阶变系数线性非齐次式。 例2 Fibonacci数列 f n f n-1 f n- 2 , f 0 0, f1 1 二阶常系数线性齐次式。 例3 等比数列 hn qhn1 一阶常系数齐次 等差数列 hn hn1 d 一阶常系数非齐次 阶乘数列 hn n hn1 一阶变系数齐次
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异 的特征根， qi 是si 重根（ i 1,2,..., t )，则 hn H n 其中 Hn
(i ) (1)
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习题（第4版）P180 4，8，16，18,23,26
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q 是特征方程的 s重根，则 hn c1q n c2 nq n ... c s n s 1q n c1 c2 n ... c s n s 1 q n 是齐次递推式的解 .
c1 c2 n ... c s n
i
Hn
(2)
... H n
(t )
si 1
q
n i
是齐次递推式的通解 .
例7
解
hn hn-1 3hn- 2 5hn- 3 2hn- 4
初始条件： h0 1, h1 0, h2 1, h3 2 特征方程： 特征根： 通解：
初始条件： h1 3, h2 32 1 8
以a开头，第二个字母为 b或c，再其后为 hn- 2 以b或c开头，其后为 hn-1
hn 2hn-1 2hn- 2
特征方程： 特征根： 通解：
x2 2x 2 0 q 1
n
3
n
hn c1 1 3 c2 1 3
若 q1,2 i e iθ 是特征方程的单重共轭 复根，则 hn c1 n cos n c 2 n s i nn 是齐次递推式的解.
若 q1,2 i e iθ 是特征方程的s重共轭复根，则 hn c1 (n ) n cos n c2 (n ) n si nn 其中c1 (n )，c2 (n)是n的s 1次多项式.
hn 3hn-1
x3
H n c 3n
特征根=3 ???
Gn An3n Gn 3Gn1 3n
An 3n 3 A( n 1)3n1 3n An 3n A3n 3n A1 hn c 3n n3n
定解：
hn 2 3n n3n ( n 2)3n
c1 7/9 c 3 / 9 2 c3 0 c4 2/9
特解：
2 n n 7 3 hn n 1 2 9 9 9
例7
解
用a,b,c组成字长为n的单词，要求两个a不 能连续出现。这样的单词有多少个？
设 hn 表示字长为 n的单词的个数
性质4
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的 k个不同的
特征根，则 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
n n n
是齐次递推式的通解 .
对初始条件 h0 , h1 , ...， hk -1， 可以唯一确定 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
初始条件：
h1 3, h2 8,
1 1 c1 1 3 c2 1 3 3 2 2 c1 1 3 c2 1 3 8
1 c1 2 c 1 2 2
1 3 2 3 3 6 1 32 3 3 6
A3n 2 A3n1 3n ( 2 A 3)3n1 3A 2A 3 A3
hn c 2n 3n1
定解：
hn 2 3
n
n1
n 求 h 3 h 3 , h0 2 的特解。 例11 n n- 1
解
先求齐通：
特征根： 齐次通解： 设非齐特为： 代入递推式：
比较n3系数： D D 1
求 hn hn-1 n3 , h0 0 的特解。
解法2
hn hn-1 n3
3 h h k 求和： n 0 n
hn 13 23 33 ... n3
k 1
一般情况：
hn hn-1 bn
求和： hn h0 bn
x4 x3 3 x2 5 x 2 0
x 1 (二重根） ， 2,
hn c1 c2 n c3 n2 1 c4 2n
n
c1 c4 1 1 c c c 1 2c 4 0 1 2 3 2 2 2 c 2 c 2 c 1 2 c4 1 2 3 1 c 3c 3 2 c 13 2 3 c 0 1 2 3 4
例5 解
求
hn 4hn-1 4hn- 2
的通解。
特征方程：
x2 4x 4 0 2 x 2 0
hn c1 c2 n2n
二重特征根： x 2 通解：
性质6
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
2、线性齐次递推式解的性质 对线性齐次递推式： hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k
(n k )
性质1 若 hn 是解，则 c hn 也是解。
性质2 若 hn 和gn都是解，则 hn gn 也是解。
线性齐次递推式的所有解构成线性空间： 1）解空间对线性运算封闭； 2）所有解可以用一组基的线性组合表示。 求解齐次递推式，归结为 求出解空间的一组基（一组线性无关的解）， 根据初始条件确定系数（特解）。
若非齐次项 bn d n , 当d是齐次式的 s重根时, 则非齐次特解为 Gn n s d n .
n 求 h 2 h 3 , h0 2 的特解。 例10 n n- 1
解
先求齐通：
特征根： 齐次通解： 设非齐特为： 代入递推式：
hn 2hn-1
x2
H n c 2n
Gn A3n Gn 2Gn1 3n
§3
线性递推关系
1、定义 递推关系
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k bn ( n k )
称为k阶线性递推关系。 若系数不依赖n，称为常系数递推式， 否则称为变系数递推式。
bn 0 称为线性齐次递推式 ,
bn 0 称为线性非齐次递推式 .
例1
例6 解
hn hn- 1 hn- 2 求 的通解。 h1 1, h2 0
特征方程：
x2 x 1 0
共轭复根： i 1 3 x1, 2 i cos i sin e 3 2 2 3 3 nπ nπ c2si n 通解： hn c1cos 3 3 3 1 3 c1 1, c2 c c 1 1 2 3 2 2 n 3 n 1 3 hn cos si n c 0 1 3 3 3 2 2
k 1
n
hn h0 b1 b2 ... bn
性质3
对线性非齐次递推式：
( a k 0)
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k bn
若非齐次项 bn d n , 当齐次式的特征根 d时, 则非齐次特解为 Gn d n .
特解：
n n 3 2 3 32 3 1 3 1 3 hn 6 6
3、线性非齐次递推式解的性质 对线性非齐次递推式：
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k bn (n k )
性质1
若 H n 是齐次通解， Gn 是一个非齐次特解， 则 hn H n Gn 是非齐次的通解。
性质3
对线性齐次递推式：
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
设 ak x k , 可以吗？
相应的特征方程为：
x k a1 x k 1 ... ak 1 x ak 0
若 q 是特征方程的解， 则 q n 是齐次递推式的解 .
先求齐通：
特征方程： 特征根： 齐次通解：
hn 3hn-1
x30 x3
H n c 3n
再求非齐特： Gn An B 代入递推式：
Gn 3Gn1 4n
An B 3 A( n 1) B 4n ( 3 A 4)n 3( B A)
比较系数：
n n n
中的k个常数，得到满足初始 条件的特解 .
例4 解
求 hn 2hn-1 hn- 2 2hn- 3 的通解。
特征方程：
特征根：
x3 2x2 x 2 0
x 1, 1, 2,
hn c1 c2 1 c3 2n
n
通解：
给定初始条件： h0 1, h1 2, h2 0,
A 3A 4 B 3( B A)
非齐次特解： 非齐特通解： 初始条件定解：
A 2 B 3
Gn 2n 3
hn c 3n 2n 3
h0 c 3 2 c 1
hn 3n 2n 3
例9 解
求 hn hn-1 n3 , h0 0 的特解。
非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
性质2
对线性非齐次递推式：
( a k 0)
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k bn
当齐次式的特征根 1时, 若非齐次项 bn 是n的 k 次多项式, 则非齐次特解也是类似 的多项式.
例8 解
求 hn 3hn-1 4n, h0 2 的特解。
求齐通：
特征方程： 特征根： 设非齐特：
H n H n-1
x 1 0 x 1
特征根=1 ???
Gn A Bn Cn 2 Dn3
3 G G n 代入递推式： n n 1 A Bn Cn 2 Dn3
3 3 矛盾啦 A B( n 1) C ( n 1)2 D( n 1 ) n !!!
c1 c2 c3 1 c1 c2 2c3 2 c c 2 2 c 0 1 2 3
c1 2 c 2 2 / 3 c 1 / 3 3
特解：
2 1 n n hn 2 1 2 3 3
性质5
对线性齐次递推式