Green公式及其运用

y
x
所以原积分 ( y2 x2)dxdy ,考虑极坐标算法: 0 r R , 0 2
D
所以原积分
2
d
R r 2 rdr R4
0
0
2
3.3 利用格林公式把二重积分化为曲线积分．
xdy ydx
例 2 计算 I = L x 2 y 2 ，其中 L 为任一不包含原点的闭区域的边界．
( x, y)
下证： u(x, y) = (x0,y0 ) Pdx Qdy 的全微分为 du(x, y) = Pdx Qdy .
y
M(x,y)
∵
P(x,
y)
，Q(x,
y) 连续，只需证
u x
P(x,
y)
，
u y
Q(x,
y)
，
N(x+x,y)
M 0(x0, y0)
o
x
lim u
u(x x) u(x, y)
D
D
Q x
P y
dxdy
x y dxdy
D PQ
域, D 是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集, Px, y ,Qx, y C'D 则
Pdx Qdy
D
D
Q x
P y
dxdy
x y dxdy
D PQ
２ 二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论
下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论．
L
P
c
osx,
n
Q
sinx,
n
ds
3.2 利用格林公式将曲线积分化为二重积分．
例１ 计算 xy2dy x2 yds ,其中 L 为正向圆周 x2 y2 R2 ． L
解 本题除了运用参数方程方法解外,还可如下求解,满足格林公式条件:
因为
P x2 y,Q xy2 , P x2 , Q y2
由（1）知
E
B
C Pdx Qdy ，
即
A
G
Pdx Qdy
AGB
+
BEA
P
dx
Qdy
=
0
∴
o
x Pdx Qdy Pdx Qdy
AGB
= BEA
（2）（3）若 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关.当起点固定在（ x0 , y0 ）点，终点为 (x, y)
( x, y)
后，则 (x0,y0 ) Pdx Qdy 是 x, y 的函数，记为 u(x, y) .
类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，
函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导函数，则有
（Q P）dxdy Pdx Qdy ，其中L是D的取正向边界曲线
D x y
L
格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分
将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功
k1
x
f x
k2 y
f y
k3
f
(x, y) , k1
k2
k3
0
则
D
f (x, y)dxdy
1
k1 k2 k3
L f (x, y)(k1xdy k2 ydx)
其中 L 取 D 的正向边界曲线．
证 令 P k2 yf (x, y) , Q k1xf (x, y) ,于是
P y
k2
f
u 即 x
P(x, y)
，
u 同理 y
Q(x, y)
.
P Q
P
Q
（3） （4）若 du(x, y) = Pdx Qdy ，往证 y = x ， P x ， Q y
P P Q Q
2u 2u
y xy ， x yx ， 由 P,Q 具有连续的一阶偏导数 xy yx
P Q
故 y = x
（4） （1）设 C 为 D 内任一闭曲线， D 为 C 所围成的区域.
解： L1
=1
1
23
L2
L2 ： y 3 2(x 2) ,即 y 2x 1
L1
(x y)dx (x y)dy L2
=
(1,1)
o
2 [(x
2x
1)
2(1
x)]dx
5
x1
2
定理：设 P(x, y) ， Q(x, y) 在单连通区域 D 内有连续的一阶偏
导数，则以下四个条件相互等价
（1）内任一闭曲线 C ， C Pdx Qdy = 0 .
把二重积分 f (x, y)dxdy 转Baidu Nhomakorabea为曲线积分,关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函数
D
P(x, y),Q(x, y) ,使
Q P f (x, y) x y 在 D 上恒成立．为此,我们有下面的
２.１定理 设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成,函数 f (x, y) 在 D 上 具有一阶连续倒数且
Green 公式及其应用
专业： 机械设计制造及其自动化 班级： 机制111班
姓名： 王腊辉
摘 要 利用格林公式的相对物理意义及数学性质把二重积分化为曲线积分．
关键词 闭区域D；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；
引言
格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二
（2）对内任一曲线 L ， L Pdx Qdy 与路径无关
（3）在 D 内存在某一函数 (x, y) 使 d(x, y) Pdx Qdy 在 D 内成立.
P Q （4） y x ，在 D 内处处成立.
证明：（1） （2）
在
D
内任取两点
A,
B
，及连接
A,
B
的任意两条曲线
AEB
，
A
GB
∴
y
C AGB BGA为 D 内一闭曲线
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy
L2
恒成立，则称
L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关.否则与
路径有关.
例 1． L (x y)dx (x y)dy L1 ：从 (1,1) 到 (2,3) 的折线
L2 从 (1,1) 到 (2,3) 的直线
3
2
5
y
(2,3)
Pdx Qdy (2 y)dy (1 x)dx
k
1
1L
xf
(x,
y)dy
；
（ii）当 y f kf (x, y)且k 1 0 时, y
D
f
(x,
y)dxdy
k
1
1 L
yf
(x,
y)dx
；
（iii）当 x f y f 0 时, x y
D
f
(x,
y)dxdy
1 2
L
f
(x,
y)( xdy
ydx) ；
（iv）当
k1
x
f x
k2 y
f y
(x,
y)
k2
y
f y
,
Q x
k1
f
(x,
y)
k1 x
f x
．
由格林公式得
Q x
P y
( k1
k2 )
f
(x,
y)
k1 x
f x
k2
y
f
y
(k1 k2 k3 ) f (x, y) , (x, y) D ．
L f (x, y)(k1xdy k2 ydx) (k1 k2 k3 ) f (x, y)dxdy,
0 且 k1
k2
0 时,
D
f (x, y)dxdy 1 k1 k2
L f (x, y)(k1xdy k2 ydx) ,
其中 L 取 D 的正方向边界曲线．
３ 格林公式的应用
３.１ 格林公式在流体力学及其他学科中有如下几种变型：
⑴
D
P x
Q y
dxdy
L
Pdy
Qdx
⑵
D
P x
Q y
dxdy
１ 格林公式的内容
格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条 件,结论叙述如下：
设 D 是 平 面 有 界 闭 域 , D 是 有 限 条 封 闭 的 彼 此 不 相 交 的 可 求 长 曲 线 是 并
集, Px, y ,Qx, y C'D 则
Pdx Qdy
由定义 x x0
x
( xx, y)
( xx, y)
u(x x, y) (x0,y0 ) Pdx Qdy = u(x, y) + (x,y) Pdx Qdy
x x
= u(x, y) + x Pdx
x x
∴ u(x x, y) u(x, y) = x Pdx = Px ， P P(x x, y) (0 1)
解 格林公式条件满足，故
xdy ydx
I = L x2 y2 =
D
Q x
P y
d
=
D
x
y x2 y2
y
x2
x
y2
d
0d
= D =0.
4 曲线积分与积分路径的关系．
1） 与路无关：是 G 为一开区域，P(x, y),Q(x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，若 G 内任意指定两点 A, B 及 G 内从 A 到 B 的任意两条曲线 L1, L2
D
从而
D
1 f (x, y)dxdy
k1 k2 k3
L f (x, y)(k1xdy k2 ydx) ．
２.２推论 设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成,函数 f (x, y) 在 D 上具
有一阶连续偏导数．则
（i）当 x f kf (x, y)且k 1 0 时, x
D
f
(x,
y)dxdy
Pdx Qdy
C
=
D
(
Q x
P y
)dxdy
=
0
.