与π有关的故事——布丰投针问题

与π有关的故事——布丰投针问题

1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法

——随机投针法，即著名的布丰投针问题。

投针步骤

这一方法的步骤是：

1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2）取一根长度为l

3）计算针与直线相交的概率．

18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/（πd)(π为圆周率)

最简单些：1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线；

2）取一根长度为a；

3）计算针与直线相交的概率为2/π =m/n m相交次数，n投针总次数π= 2n/m

公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！

下面是一些资料：

圆周率估计值实验者年代投掷次数相交次数

3.1596 沃尔夫1850 5000 2531

3.1554 史密斯1855 3204 1219

3.137 德摩根1680 600 383

3.1595 福克斯1884 1030 489

3.1415929 拉泽里尼1901 3408 1808

3.1795 赖纳1925 2520 859

1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到π的近似值为3.1596。1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L•巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！

不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π值。蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。

在用概率方法计算π值中还要提到的是：R•查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／2π。1995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特•马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距。他检查了100万对因子，据此求得π 的值约为3.12772。这个值与真值相对误差不超过5％。

像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。

此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关。

蒲丰投针问题的原理探究（需要用到微积分）

在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰(Buffon)提出的一种计算圆周率π的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这个实验方法的操作很简单：

1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线；

2) 取一根长度为l（l

为m；

3）计算针与直线相交的概率

由分析知针与平行线相交的充要条件是其中

建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图l（2）．

由几何概率知

4）经统计实验估计出概率

由(*)式即π=2ln/md

这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到π的近似值。因此蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为p = 2l/πd。利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中，他选取l = d/2，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为2212/704 = 3.142。当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。

值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。