用层次分析法解决购买汽车的问题

用层次分析法解决购买汽车的问题

1阐述问题

近年来随着人们消费意识的改变，有车一族的队伍不断壮大，购买汽车对于 普通老百姓已经不是什么了不得的事。然而什么样的车才能称得上是一款好车 呢？是因大众、奥迪而闻名的德系车？还是以本田、丰田而为人们称赞的日系 车？或者是像别克、福特之类的美系车？也许是像奇瑞 、吉利这些自主品牌呢?

面对如此众多的选择，究竟该如何选择一款我们自己喜欢的车辆呢?

2建立层次结构模型

3构造判断矩阵

在人们购车这个实际问题中, 选择汽车就是目标层，而人们在购车时又会受 到车子的安全性、舒适性、油耗、 品牌、车价、售后服务等因素的影响。将安全 性、舒适性、油耗、品牌、车价、 售后服务确定为准则层，从而德系车、 日系车、

美系车及自主品牌车为方案层。

故选择汽车的层次结构图如图

1所示

:

图1.选择汽车的层次结构图

(1

5 4 7 6

8、

1

b.对咸按行求和得

d.计算A 七 便b,作为最大特征根的近似值。

n i zt co i

如下:

(1 1 5 1 4 1 7 1 6

1.8

5

7

2

3

17

11

3 1 2 1 n

l 8

5

5 1 3 1

4用和法求最大特征值与特征向量

步骤如下:

a.将A 的每一列向量归一化得

a

ij

Z a ij i 土

C.将询归一化得◎

(©1

,

© 2

,，国 )即为近似特征向量。 n ，

利用和法求解购买汽车问题中构造的判断矩阵

的最大特征值和特征向量

1 3 1

2 1

1 5 1 3 1

判断矩阵，设它们分别为:

B 4 5 V-

『0.53

1 0.554 0.648 0.378 0.468 0.308、 0.106 0.111 0.081 0.162

0.156 0.192 0.133

0.221 0.162 0.270 0.234 0.269 0.076 0.037 0.032 0.054 0.039 0.077

0.088 1 0.055 0.054 0.108 0.078 0.115

(0.066 0.022 0.023 0.028 0.025 0.039丿

列向量归一化 *2.887 ) 巾.481

、 0.808 0.135 1.289

归一化 ----------- » 0.215 0.315 0.053 0.498 0.083 [0.203 丿

(0.033 丿

=©

按行求型 <1

6

2

5、

1

f

1

1

2 — 5

1

5 —

2 1

1

1 5

4

— 1 — —

6 1 5 2

1

1

1 2

1 1

1 1 1

，

B2 = 2

7

，

B3 = 5

7

4

5 1 3

2

5 7 1

7

4

7 1

6

1

1

1 1 1

1

1

— 2 — 1 — — — 1 — 4 — 1 （5

3 y

l 5 2 7 J

（2

6 J

6

5 6 7

1 1 1

、

「1 3 2 7）

1

1

7

5

6 B 1

J* 0.829 6(0.481 0.135 1.350 0.318 + ------ + ------- + 0.215 0.053 0.508 0.206 }

------ + ------

[=6.222 。

第2层（准则层）对第1层（目标层）

的权向量，记作⑷

（2）

(2)

=(阮)

，… 利用同样的方法可以构造第

（方案层）

对第2层（准则层） 的每一个准则的

B 6

<7

其中矩阵 B k (k=1,2. …6) 中的元素b ；k ）

是方案P 与 对准则C k （安全性、舒适

性等）的优越性的比较尺度。

利用和法求第3层的判断矩阵B k ，计算出权向量《k （3），最大特征根^k ,结 果如下表所示:

第3层权向量、特征根计算结果

5一致性检验

算结果如下表所示:

对于A 与B k （k=1,2…6）,利用CI =凸二n

,CR=— < 0.1检验其一致性计

A B k

6计算组合权向量及组合一致性检验

通过上面的计算知道第 2层（准则层）对第 1层（目标层）的权向量

$2)

=(0.481

0.135 0.215 0.053 0.083

0.033 ｝，那么第 3 层(方案层)对第

向量为它们相应项的两两乘积之和，即

0.514 X 0.48+0.202 X 0.135+0.211 X 0.215+0.617 X 0.053+0.083 X 0.050+0.484 X 0.033=0.372

1

层（目标层）的权向量称为组合权向量，记为 （3）

，方案P 1在目标中的组合权