第八章概括平差函数模型

第八章 概括平差函数模型

§8.1概述

在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：

（1）、条件平差：0)ˆ(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -= （2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L

=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+= （3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X L

F ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。

（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L

=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX

。方程数c=n ＋s 。

由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差

方法的纽带。另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。

在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： t u ≤≤0。也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。

注意：并非选u ＝t 或u ＞t 个参数，u 个参数间就一定彼此函数独立，选u ﹥t 个参数，也不一定包含t 个函数独立参数。

对于任意一个平差问题，若选用了u 个参数，不论t u <、t u =还是t u >，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=u r +。如果在u 个参数中存在有s 个函数不独立的参数，或者说，在这u 个参数（包括t u <、t u =以及t u >，但是其中没有t 个独立参数的情况）之间存在s 个函数关系式，则方程总数c 中除s u r -+个一般条件方程外，还包含s 个限制条件方程。若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是u r c +=，也就是条件方程数c 等于多余观测数r 与所选参数u 之和。

平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。

§8.2 基础方程和它的解

将平差函数模型：0)ˆ(=L

F ，)ˆ(ˆX F L =视为0)ˆ,ˆ(=X L F 的特殊形式，则各种平差函数模型可统一表示为：

⎪⎭

⎪

⎬⎫=Φ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 0)ˆ(0)ˆ,ˆ( 1111111s u s c u n c X X L

F

线性化后表示为

⎪⎭

⎪

⎬⎫=+=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111

00s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A δδ(8-2-3)

而平差的随机模型是

1

2020-==P Q D σσ

在这一函数模型中，待求量是n 个观测值的改正数v 和u 个参数，而方程的个数是

u n s c +<+，所以有无穷多组解。为此，应当在无穷多组解中求出满足min =PV V T 的

特解。按照求条件极值的方法组成函数，设：

)()(X T

S T T W x C K W x B AV K PV V +-++-=Φδδ22

令:

022=-=∂Φ∂A K P V V

T T 022=--=∂Φ∂C K B K x T

S T δ，转置后得：

K QA V T =，0=+S T T K C K B

于是统一平差模型的基础方程为

⎪

⎪

⎪⎭

⎪

⎪⎪

⎬⎫=+=-=+=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111

111111

111040 (3) 020 (1),,,,,,,,,)()(u s s s u T c c u T n c c n T

n n n s s X u u s c c u u c n n c K C K B K A V P W x C W x B V A δδ 其中方程数u n s c +++，未知数是n 个V 、u 个 未知参数、c 个对应于一般条件式的联系数K 、s 个对应于限制条件式的联系数s K ，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。

解基础方程，由（3）得K QA V T

=带入（1）式得：0=++W x B K AQA T δ 则得统一模型的法方程

⎪⎭

⎪

⎬⎫

=+=+=++000X S T T T W x C K C K B W x B K AQA δδ （8－2－10）

或者

00

000

011

1111

=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯s X u c s S u c s s u

s c

s s u T u u c u T s c u c c c aa

W W K x K C

C B B N δ，其中T

c

c aa AQA N =⨯ 由此可以得到：X cc T bb aa T bb cc T bb bb

W N C N W N B CN N C N N x 1

111111----------=)(δ 以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。例如：