函数中存在性与恒成立问题

问题02 函数中存在性与恒成立问题

一、考情分析

函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享

(1) 设

,（1）

上恒成立

；（2）

上恒成立

. (2) 对于一次函数

有：

(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．

(4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:

①将参数与变量分离,即化为

（或

）恒成立的形式；

②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期测试】函数

，当

时，

恒成立，则实数的取值范围是____.

【解析】

的定义域为，且

，

为奇函数，且在上单调递增， 由

得，

，

，

，

①时，，

②

时，

，

的最小值为1，，

实数的取值范围是，故答案为

.

(二)分离参数法 【例2】已知函数的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．

(1)求实数a 的值；

(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围. 【分析】（1）由

结合条件函数

的图象在点e x =处的切线的斜率为3,

可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：,从而解得1a =；（2）要使2

()f x kx ≤对任意0x >恒

成立,只需

即可,而由（1）可知

,∴问题即等价于求函数

的

最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：

,令

'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴

()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.

【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参

数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.

【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3

f x x =,若不等式

对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是 .

【答案】(,-∞

(五)存在性之常用模型及方法 【例5】设函数,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线的斜率

为0.

（1）求b 的值；

（2）若存在[)1,x ∈+∞,使得

,求a 的取值范围.

【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a ,b 的方程,

进而求得b 的值：

,

；（2）根据题意分析

可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式

成立,只需

即可,因此可通过探求()f x 的

单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a 的不等式即可,而由（1）可知

,

则

,因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解

得a 的取值范围是. 【解析】（1）

,

由曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线的斜率为0,得()10f '=,

②当

1

1a <<时,

1a >, 1a

-

,

不合题意,无解,10分 ③当1a >时,显然有()0f x <,01

a

a >-,∴不等式恒成立,符合题意,

综上,a 的取值范围是

.

6．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数,若存在

唯一的整数x ,使得成立,则实数a 的取值范围为__________．

【答案】[]0,2[]

3,8⋃

7．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在x ∈R,使得34x a ﹣ ≥2

2x x - （a ＞0且a≠1）成立,

则实数a 的取值范围是_____．

【答案】2a ≥或0a << 且 1.a ≠ .

【解析】,

∴（3x ﹣4）

,

当3x ﹣4=0即4

x 3

=时,

故舍去

当3x ﹣4>0即4x 3

>

时, ,令t=3x ﹣4＞0,

,所以2log a ≥1．所以a≥2．

当3x ﹣4<0即4x 3<

时,令t=3x ﹣4<0,21

9

log a ≤，所以a ≤

综上,a≥2或0＜ a ≤a≠1．

14．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数（a 为常数,e=2．718…）,

且函数

处的切线和

处的切线互相平行．

（1）求常数a 的值； （2）若存在x 使不等式

成立,求实数m 的取值范围．

【答案】（1）1a =；（2）(,0)-∞． 【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求