《解三角形应用举例》(2)教案

《解三角形应用举例》（2）教案

一、教学内容分析：

1⋅解《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：2

三角形应用举例的第2课。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。作为1.2单元的第2课，是在学生已用正弦定理, 余弦定理解决一些有关测量距离的实际问题基础上，解决一些有关测量高度的实际问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理的过程，提高学生的应用数学的能力。

二、学生学习情况分析：

由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，定能激起学生的学习兴趣。当然本课可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。

三、教学目标：

让学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题,巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯,进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

四、教学重点与难点：

本节课的重点是结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题,难点是能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

五、教学过程设计：

（一）讲解概念

问题1:什么叫仰角与俯角?

仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;

俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角.

（二）课题导入

问题2:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

（三）新课讲授

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE，在∆ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测

出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得 AC = )sin(sin βαβ-a AB = AE + h=AC αsin + h=)

sin(sin sin βαβα-a + h

例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

问题3:哪个三角形已经知道三个条件?

问题4:要求CD,必须借助哪个三角形?还需要什么条件?

解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,

∠BAC=α- β,∠BAD =α.根据正弦定理, )sin(βα-BC = )

90sin(β+︒AB 所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)

sin(cos βαβ-BC 在Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)

sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得BD = )

1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'

''︒︒︒≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

问题5：有没有别的解法呢？

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.

问题6：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ （在∆BCD 中）

问题7:在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ （BC 边） 解:在∆ABC 中, ∠A=15︒,∠C= 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,

A BC sin = C A

B sin , B

C =C

A A

B sin sin ≈ 7.4524(km) CD=B

C ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m)

答:山的高度约为1047米

（四）课堂练习

课本第17页练习第1、2、3题

（五）课堂总结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

（六）课后作业

习案与学案