一般形式的柯西不等式 说课稿 教案 教学设计

一般形式的柯西不等式

教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.

教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.

教学难点：理解证明中的函数思想.

教学过程：

一、复习准备：

1. 练习：

2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：；

二、讲授新课：

1. 教学一般形式的柯西不等式：

① 提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？

结论：设，则

讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设） 联想：设，，，则有

，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）

要点：令 ，则 .

又，从而结合二次函数的图像可知，

22222()()()a b c d ac bd ++≥+2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++||||||αβαβ≤1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++

+++≥+++1212n n

a a a

b b b ===0i b ≠1122n n B a b a b a b =+++22212n A a a a =++22212n C b b b =+++20B AC -≥2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（

）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（222120n a a a ++⋅⋅⋅+>

≤0

即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）

④ 变式：. （讨论如何证明）

2. 教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知，求的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：

② 练习：若，且，求的最小值.

③ 出示例2：若>>，求证：.

要点：

3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.

三、巩固练习：

[]22

2

2

1122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++2

2

2

12()n b b b +++222

212121()n n a a a a a a n ++≥++⋅⋅⋅+321x y z ++=222x y z ++,,x y z R +∈1

1

11x y z ++=23y z

x ++a b c c a c b b a -≥-+-4

1121111

()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c -+=-+-+≥+=----