7.3直线与平面的关系

（1）4x-2y-2z=3与
垂直
（2）3x-2y+7z=8与
（3）x+y+z=3与
直线在平面上
求直线与平面交点
L： x x y y z z
m
n
p
s={m,n,p}
π ：Ax+By+Cz+D=0
M (x, y, z )
n={A,B,C}
怎样才能求 出交点M？
M(x,y,z)
π
图示
例题 已知平面 π2x+y+z-6=0及直线 L
设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两个结论：
1.若直线 L1与直线 L2平行，则有
πAx+By+Cz+D=0
π
s={m,n,p}
n={A,B,C}
2.若直线 L与平面π 垂直，则则n∥s，于是
L A B C
mn p
s={m,n,p}
L： x x y y z z
m
n
p
n={A,B,C}
π
π ：Ax+By+Cz+D=0
练习 思考 讨论
平行
确定下面直线与平面的位置关系：
即为所求.
22 1
5
d 即为所求平行四边形的高PQ.
3.验证两条直线 L1,L2是
否共面.其中
L:
x x
y z y
, () z , (
)
L:
x y z x y z
,
(
) .
, ( )
答：共面.可以由前三个 平面方程联立解得： x=4, y=5, z=-7,
代入第四个平面方程检 验，满足该方程。
求其交点.
x 2 y 3 z 4 t b b2 4ac
解 令直线方程 1
1
2
2a
得 x=2+t y=3+t z=4+2t
（1）
代入平面π方程，
得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0
整理得5t=-5,即t=-1 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2.
即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交
L1 // L2
rr s1 ks2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
k
两直线平行图示
π
2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有
L1 L2 cos 0 m1m2 n1n2 p1 p2 0
两直线垂直图示
图示
例题
已知直线
求两直线的夹角.
解 由所给方程知 s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，
在平面的法向量n={A,B,C}上投 P1
影的绝对值，即
n P0 θ
N
d | P1P0 cos |
而
| P1P0 • n | | P1P0 || n | cos | n | d
因此 即
d | P1 P0 • n | |n|
d | Ax0 By0 Cz0 D | A2 B2 C 2
这就是空间一点P0到平面的距离公式。
代入夹角公式可得
cos
| 1 2 (4) (2) 1 (1) |
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
1 2 . .
22
4
四.直线与平面的夹角
• 定义直线与平面的夹角
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ.
2011届高数补习班课件
单班姓名：杨阳 通信11C4，学号：112231434
二、点到平面的距离
问题：如下图，已知平面 Ax By Cz D 0
和平面外一点P0(x0,y0,z0)， 求点P0到该平面的距离d.
在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)，
则d就等于向量 P1P0 x0 x1, y0 y1,z0 z1
例1 求点P（-1,-2,1)到平面 x 2 y 2z 5 0 的距离。
解： d | 1 2 ( 2 ) 2 1 5 | 12 22 ( 2 )2
12 4 3
例2 求两平行平面Y1:2x+y+2z-9=0和 Y2:4x+2y+4z-15=0的距离。
解：求平面的距离，简单而言就也是求点到平面的 距离。
如右图所示。
设两平面π1，π2的方 程分别为：
n2
n1 θ
1 : A1x B1 y C1z D1 0
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
于是两平面的法向量分别为：
π2 θ
π1
n1 A1 ,B1 ,C1,
n2 A2 ,B2 ,C2
故可得
cos
A1A2 B1B2 C1C2
解：用待定系数法解决。
例4 求过点（1，-2，1），且与两平面x-2y+z-3=0和 x+y-z+2=0垂直的平面方程。
四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的
夹角（锐角）叫作两直线的夹角.
s2={m2,n2,p2} φ
s1={m1,n1,p1}
L2 L1
两直线的夹角的余弦公式
L
:
y x
20 2z 7
0
P
M0 Q
s L
图示
解 （方法二）
以 |PQ|为高作一个平行四边形 如图。则d=|PQ|= 平行四边形 的高。
(1)在L上求出一点M0，不妨令已 知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0).
(2)由上面知 s={2,0.-1},另作向量
uuuuur M0P {7,1,1} 于是有
i jk MP s i j k
续上
1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0 的距离.
P M0 Q
s L
图示
由向量积的几何意义知：
平行四边形面积
S
|
uuur MP
sr
||
PQ
|
|
S sr
|
d | PQ |
S r
|s|
(3)
12 52 22 30
d
φ
s={m,n,p
θ
夹角公式：
cos
| mA nB pC |
m2 n2 p2 A2 B2 C 2
cos( ) sin
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两个结论：
1.若直线 L与平面π平行，则n⊥s，于是
L // mA nB pC 0
L // π图示
L：
x x y y z z
m
n
p
s={m,n,p}
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与
直线L的交角
s={m,n,p}
L n={A,B,C}
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
φθ
L : x x0 y y0 z z0
m
n
p
π
π Ax+By+Cz+D=0
四.直线与平面的夹角
已知直线L的方向向量为（m, n, p） n={A,B,C}
平面π的法向量为（A，B，C），则有
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s 量 证的 得数.《量提积示为》零
在平面Y1上找一点M（4，1，0） 则到平面Y2的距离为： d2=|AX0+By0+Cz0+D|2/A2+B2+C2 代入得=|4*4+2*1-15|/4*4+2*2+4*4 d2=32/36
=1/4 所以d=1/2 即y1到y2的距离是1/2.
三、两平面的夹角
定义：两平面的夹角为这两平面法向量的夹角θ，
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两个结论：
1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
1 // 2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
练习 求两平面x+y+2z+3=0和x-2y-z+1=0的夹角
（夹角为60度）
例3 设平面过点M1（1,1,1)，M2（0,1,-1)，且垂 直于平面 x 2y 3z 0, 求此平面方程。
得平面方程 2x-z+1=0.
(2) 求直线与平面的交点，解方程组
y+2=0 x+2z-7=0 2x-z+1=0
x=1, y=-2, z=3.
即得 Q（1，-2，3）
(d3)| PQ |
(1 0)2 (2 1)2 (3 1)2
即为所求.
五.例题
1. 求点P(0,-1,1)到直线 L的距离.
点
解法2，将直线方程化为一般式与已
知平面联立解得.
五.综合例题
1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0的距离.
P
n
s
L
Q
图示
解 （方法一）
(1)过点P作平面垂直于直线L，则
平面法向量 n平行于直线方向向量s
，即
i jk
n
s
i k
n={2,0,-1},P(0,-1,1),
提示 任取三个平面方 程联立，解出交 点后代入并满足 第四个平面方程， 则两直线共面
4.证明两条直线 L1,L2
相互垂直.其中
x y , L: y z ,
x y ,
L:
x
z
. .
证明：由已知
ij s
k
i j k
ij k s
i 先求出j 两条k