2.3.2平面与平面垂直的判定
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二面P角 lQ
二面 P角 AB Q A
QB
l
P
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B D
A
二面角C－AB－ D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
在Rt △COD中，DO=AB=3
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
面面垂直的判定
复习回顾：
从一条直线出发的两个半
平面1、所二组面成角的的图平形面叫角做二
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
AO
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
AO⊥ l 平面 AO⊥l, OD⊥ l
l⊥平面AOD AD平 面 AOD得 AD⊥ l
∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2 3 ，AD=4
在Rt △ADO中， ∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
D
O
∴ ∠ADO=60°
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
小结:二 面 角 从一条直线出发的两个半
平面所1、组二成面的角图的形平叫面做角二
一、二面角的定义： 二
二 二
面面面二、角角角 C二－－－面AA12lBB－、、－－角直根 利D的作据用出定直表来义线示作和出平方来面法垂面角做：角的二。棱面2、这。角必的在二条这的须大棱面直两面满小上角线个。足与的的叫半三位平做平其个置面二面顶条无角面叫点件关
C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
在Rt △COD中，
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
2.3.2平面与平面垂直的判定
二面角
知识回顾 1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的 角。
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎 样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的 角与有什么共同的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化 为二维空间的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个 部分，其中的每一部分都叫做射线。
一、二面角的定义： 面角。必这须条满直足线三叫个做条二件面 1、根据定义作出来——角定的2义、棱法二。面这角两的个平半面平角面叫 2、利用直线和平面垂直做作二出面来的角大的小面与。其顶点
二、二面角—的—垂表线示垂面方法法： 在棱上的位置无关
3、二面角的大小用
三、二面角12、、的找证到明平或1面中作的出角角二：就面是角所的求平的面它小角角的来平度面量角的大
BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求
线段CD的长。
lห้องสมุดไป่ตู้
B
C
D
A
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分 别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
分析：
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
3、二面角的大小用
三、二面角12、、的找证到明平或1面中作的出角角二：就面是角所的求平的面它小角角的来平度面量角的大
四、二面角3、的计算平所面求的角角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
练习 如图，已知A、B是120的二
面角—l—棱l上的两点，线段AC，
BD分别在面，内，且AC⊥l，
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中
求:二面角D’-AB-D的大小
D’
C’
求:二面角A’-AB-D的大小 A’
B’
D C
A
B
例2:已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A 到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的大小。
A
D
O
l
解：过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
二 二
四面面 、角角二C－－面AABB角－－3、D的计算平所面求的角角的作法：
二 五面 、角二－面l－角的计算：
一“作”二“证”三“算”
22
观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
一、两个平面垂直的定义
如果两个平面相交
B
所成的二面角是直二
A
面角，那么我们称这
lO
两个平面相互垂直.
记作：
画法：
一个平面内的一条直线把这个平面分成两 个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
Al
l
定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
B
l
α
o
A
β
二面角由半平面--线--半平面构成。
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面 角 l 二面 角 AB
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直．
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点 为端点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内
B D
3.与棱垂直
B
O
l
A C
二面角的大小的范围:
O
A
0180
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面 P角 AB Q A
QB
l
P
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B D
A
二面角C－AB－ D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
在Rt △COD中，DO=AB=3
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
面面垂直的判定
复习回顾：
从一条直线出发的两个半
平面1、所二组面成角的的图平形面叫角做二
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
AO
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
AO⊥ l 平面 AO⊥l, OD⊥ l
l⊥平面AOD AD平 面 AOD得 AD⊥ l
∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2 3 ，AD=4
在Rt △ADO中， ∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
D
O
∴ ∠ADO=60°
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
小结:二 面 角 从一条直线出发的两个半
平面所1、组二成面的角图的形平叫面做角二
一、二面角的定义： 二
二 二
面面面二、角角角 C二－－－面AA12lBB－、、－－角直根 利D的作据用出定直表来义线示作和出平方来面法垂面角做：角的二。棱面2、这。角必的在二条这的须大棱面直两面满小上角线个。足与的的叫半三位平做平其个置面二面顶条无角面叫点件关
C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
在Rt △COD中，
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
2.3.2平面与平面垂直的判定
二面角
知识回顾 1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的 角。
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎 样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的 角与有什么共同的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化 为二维空间的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个 部分，其中的每一部分都叫做射线。
一、二面角的定义： 面角。必这须条满直足线三叫个做条二件面 1、根据定义作出来——角定的2义、棱法二。面这角两的个平半面平角面叫 2、利用直线和平面垂直做作二出面来的角大的小面与。其顶点
二、二面角—的—垂表线示垂面方法法： 在棱上的位置无关
3、二面角的大小用
三、二面角12、、的找证到明平或1面中作的出角角二：就面是角所的求平的面它小角角的来平度面量角的大
BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求
线段CD的长。
lห้องสมุดไป่ตู้
B
C
D
A
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分 别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
分析：
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
3、二面角的大小用
三、二面角12、、的找证到明平或1面中作的出角角二：就面是角所的求平的面它小角角的来平度面量角的大
四、二面角3、的计算平所面求的角角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
练习 如图，已知A、B是120的二
面角—l—棱l上的两点，线段AC，
BD分别在面，内，且AC⊥l，
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中
求:二面角D’-AB-D的大小
D’
C’
求:二面角A’-AB-D的大小 A’
B’
D C
A
B
例2:已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A 到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的大小。
A
D
O
l
解：过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
二 二
四面面 、角角二C－－面AABB角－－3、D的计算平所面求的角角的作法：
二 五面 、角二－面l－角的计算：
一“作”二“证”三“算”
22
观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
一、两个平面垂直的定义
如果两个平面相交
B
所成的二面角是直二
A
面角，那么我们称这
lO
两个平面相互垂直.
记作：
画法：
一个平面内的一条直线把这个平面分成两 个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
Al
l
定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
B
l
α
o
A
β
二面角由半平面--线--半平面构成。
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面 角 l 二面 角 AB
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直．
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点 为端点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内
B D
3.与棱垂直
B
O
l
A C
二面角的大小的范围:
O
A
0180
平面角是直角的二面角叫做直二面角.