材料力学习题册答案-第13章 能量法要点

第十三章能量法

一、选择题

1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。

A 应变能相同，自由端扭转角不同；

B 应变能不同，自由端扭转角相同；

C 应变能和自由端扭转角均相同；

D 应变能和自由端扭转角均不同。（图1）

2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F时，截面B的转角为θ，若先加力偶M，后加F，则在加F的过程中，力偶M（ C ）。

A 不做功；

B 做正功；

C 做负功，其值为Mθ；

D 做负功，其值为1

2Mθ 。

3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F、M同时按比例施加；第二种为先加F，后加M；第三种为先加M，后加F。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。

A 第一种大；

B 第二种大；

C 第三种大；

D 一样大。

4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F作用。若已知杆的拉压刚度为EA，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为度。（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F。）

A 0； B

C μFb

EAFbEAμFlEA，l为杆件长；； D 无法确定。

（图2）（图3）

二、计算题

1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA相等。试求节点C的水平位移。

解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P力方向一致，所以可以用这种方法。由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。

12P∆C=

Pa

2EA

+

Pa

2EA

(+

2P

)(

2a

)

2EA

可得出：∆C=

(

2+1PaEA

)

解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。

在C点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。

则C点水平位移为：∆C=

2．图示刚架，已知各段的拉压刚度均为EA，抗弯刚度均为EI。试求A截面的铅直位移。

(

2+1PaEA

)

解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图所示。

EI∆

A

=

12

Fl⋅l⋅

23

l+Fl⋅h⋅l=

13

Fl

+Flh

2

如果考虑轴力影响，则各杆的内力如下表所示。

l

∆AN=

⎰

NABNAB

EA

h

1+

⎰

NBCNBC

EA

h

dx2=0+

⎰

(-F)(-1)EA

2=

FhEA

故A点总的铅直位移为：∆A=

Fl

+3Flh3EI

2

+

FhEA

3．试求图示悬臂梁B截面的挠度和转角（梁的EI为已知常数）。

A

B

解：应用图乘法，在B点分别加单位力和单位力偶。它们的内力图如图所示。EI∆Ba⎫qa⎛a⎫⎛=a⋅⋅ l-⎪= l-⎪ 32⎝4⎭6⎝4⎭1qa23

EIθB=13a⋅qa

22⋅1=qa

63

4．图示刚架，已知EI及EA。试用莫尔积分法或图乘法计算B截面的垂直位移wB和转角θB。

解：应用图乘法，如果不计轴向拉压，在B点分别加单位力和单位力偶。它们的内力图如图所示。

EI∆B=13

1

3a⋅qa2qa222⋅3a4+qa222⋅a⋅a=5qa834 EIθB=a⋅⋅1+

qa2⋅a⋅1=2qa

3

如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。

5．如图所示刚架受一对平衡力F作用，已知各段的EI相同且等于常量，试用图乘法求两端A、B间的相对转角。

AFa1B1解：应用图乘法，在A、B点加一对单位力偶。它们的内力图如图所示。

EIθAB=12Fa⋅a⋅1⋅2+Fa⋅a⋅1=2Fa 2

6．图示刚架，已知各段的抗弯刚度均为EI。试计算B截面的水平位移和C截面的转角。

P

Pl-MPlA

解：应用图乘法，在B截面加一水平单位力，在C截面加一单位力偶，它们的内力图如图所示。

EI∆B=

EIθAB=1212Pl⋅l⋅23l+Pl⋅l⋅l+23=1

312(Pl-M)⋅l⋅23l=2Pl3-13Ml 2(Pl-M)⋅l⋅(Pl-M)l