近世代数 群练习2012年4月群测试题及答案

1．证明集合{}1,1,,i i −−关于数的乘法构成交换群。

2．设m 是大于1的正整数，Z m 为Z 的模m 的剩余类集，记U (m )={a ∈Z m ／（a,m ）=1}，证明：U(m)关于剩余类的乘法构成群。

3．设G 为群，记C (G )={ g ∈G ／gx=xg , ∀x ∈G }，证明：C (G )是G 的子群。

4．在整数加群Z 中，H 1={2z ／z ∈Z }, H 2={3z ／z ∈Z }，判断下列子集H 是否构成Z 的子群，

并说明理由。（1）12H H H =∩ (2) 12H H H =∪

5．设群{}41,1,,U i i =−−是四次单位根群，{},,,K e a b ab =是由元素a ，b 和关系a 2=b 2=e 及ab =ba 所定义的群，问U 4与K 是否同构，并说明理由。

6．将⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=251634654321σ表为不相交的循环置换的乘积。 7．将下列乘积 (3654)(3241)(31524)表为不相交的循环置换的乘积。

8．设σ是一个7阶置换，已知)1437562(3=σ，试求σ。

9．设G 为群，H 为G 的一个子群，如果G 是交换群，证明商群G/H 也是交换群。

10.在S 3中，H ={(1),(123),(132)}是S 3的不变子群，求商群3/S H 。

11.判断下列G 到G’的映射是否是同态，若是，求同态映射的核。

(1) G ，G’是两个群，e’是G’的单位元，令

':e a →φ，G a ∈∀

(2)G 是整数加群Z ，G’是全体非零实数R *关于数的乘法所构成的乘法群。

n n )1(:−→φ

(3)R [x ]为全体实系数多项式关于多项式的加法所构成的群。

)()(:x f x f ′→φ

(4) 设G 为群，H 为G 的一个不变子群，对商群G/H ，令

aH a H

G G →→/:φ

答案：

3．见教材71页例2。

4．（1）构成，1H 、2H 均为H 的子群，子群的交仍为子群。

（2）不构成，因为12H ∈，23H ∈，而12235H H +=∉∪，故12H H ∪对运算不封闭，即12H H ∪不构成Z 的子群。

注：子群的并不一定构成子群。

5．解：若4U 与K 同构，设φ是4U 到K 的同构映射，令()i x φ=，由K 的特点得2x e =，()()2i i x e φφ==，即()()21i e φφ=−=，而()1e φ=，由于φ是单射，所以11−=矛盾，从而4U 与K 不同构。

6．解：原式得()()14236

7．原式得()()142356

8．解：

σ是一个7阶置换，由教材第二章第六节习题4得()71σ=，()()()55314375621674253σσ===

10．()(){}3/1,12S H H H =

11．（1）任取,a b G ∈，()()()ab e e e a b φφφ′′′===，得φ是同态映射，核为G

（2）任取,m n G ∈，()()

()()()()111m n m n m n m n φφφ++=−=−−=，得φ是同态映射，核为偶数全体。

（3）任取()()[],f x g x R x ∈，()()()()()()()f x g x f x g x φφφ+=+，得φ是同态映射，核为R

（4）任取,a b G ∈，()()()()ab ab H aH bH a b φφφ==⋅=，得φ是同态映射，核为H 。