北京大学量子力学课件 第25讲

z
轴间的夹角为 ，则
1 ˆ ˆ , b) ( ˆ x 2 sin ˆ z 2 cos C(a 2
ˆ x 2 sin ˆ z 2 cos )
cos
A. 对两个处于自旋单态的粒子，在三个 A 对两个处于自旋单态的粒子 在三个 不同方向测量它们的自旋。 根据定域隐变量理论，它们的关联测量平 均值的关系为
(2) 全同粒子的波函数结构，泡利原理： 忽略粒子间的相互作用 则全同粒子的哈氏 忽略粒子间的相互作用，则全同粒子的哈氏 量为单粒子哈氏量之和
ˆ (r ˆ1, r ˆ2 , p ˆ 1, p ˆ 2 ) ( r ˆ1, p ˆ 1 ) ( r ˆ2 , p ˆ2) H
显然，对任何一粒子，其哈氏量的形式完全 显然，对任何 粒子，其哈氏量的形式完全 相同 2 2 ˆi , p ˆi) h( r i V( ri )
。
量子力学否认这些假设，认为即使两个粒 子离开很远 对第 个粒子的测量将影响第二 子离开很远，对第一个粒子的测量将影响第二 个粒子的状态；另外，粒子本身并没有这种实 身 实 在性（即粒子的所有物理量都有确定值）。 （2） Bell Inqualities ii 两个自旋为 1 2 的粒子系统处于自旋单态
P12 U(t , t 0 ) (r1 , r2 , t 0 )
的任意性，所以 由 由于 的任意性 所以
P12U(t ,0) U(t ,0)P12
U ( t ,0 ) e
由于 于 即
ˆ ( r ,p iH 1 ˆ 1 ,r2 ,p 2 )t /
t
任意
ˆ ]0 [ P12 , H
ˆ) ˆ b ( a
ˆ a
在
ˆ 方向 b z 方向，
1 ˆ ˆ , b) ( ˆ z1 ˆ b2 ˆ z1 ˆ b2 C(a 2
ˆ z1 ˆ b2 ˆ z1 ˆ b2 )
令
ˆ 与 b

这即行列式定义
1 ( r2 ) 1 ( rN ) 2 ( r2 ) 2 ( rN ) A N ( r1 ) N ( r2 ) N ( rN )
ˆ ( r1, P1, r2 , P2 ) H ˆ ( r2 , P2 , r1, P1 ) H
P12 是运动常数。
若 ( r1, r2 , t ) 是 P12 的本征态，则
P12 ( r1, r2 , t ) ( r1, r2 , t )
1
因此，有两种态，一种是交换下不变，称 为对称态 另 种是交换下改号 称为反对称态 为对称态；另一种是交换下改号，称为反对称态
1 0,0 ( , , ) z 2
1 ( , , )n ˆ 2
这是一个纠缠态。显然，在这个态中，测 量第一个粒子（在 z 方向）得到某一结果，则 知道第二个粒子随之测量（在 z方向）的结果。 现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测 ˆ 方向测量，第二个粒子沿 量 第 个粒子沿 a 量。第一个粒子沿 方向测量 第 个粒子沿 ˆ 测量。它们的测量结果都为 1 。 方向 b
ˆ b ˆ a 如 ， 方向相同，则平均值为 1 。 ˆ方向相不同，这一相关联测 ˆ ， b 如 a 方向相不同 这 相关联测
量的平均值为
ˆ ) 0,0 ˆ 0,0 ˆ,b ˆ ˆ1 a ˆ 2 b C(a
cos
证： 不失一般性，假设 不失 般性 假设 在 xz 平面
例：
x1 , x 2 x1 x 2
该态在动量表象中的表示为
p1 , p 2 p1 p 2
爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子的坐标， 测得值为 x 0，则第二个粒子的坐标必为 则第二个粒子的坐标必为 x 0 ； 测量第二个粒子的动量，测得值为 p 0 ，那第一 个粒子的动量必为 p 0 。所以，
2 N 1 P 2 N 1 来实现
由于对换（transposition）一对粒子， 波函数改号 而对某 置换（Permutation 波函数改号。而对某一置换（ P t ti ） 它相应的对换数的奇偶性是 定的 因此 置 它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此，置 换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别 取决于该置换的对换数的奇偶性。 取决于该置换的对换数的奇偶性 如
12345678 12345 67 23451768
1514 1312 67
所以有5个对换，其符号为负号。 个对换 其符号为负号 设一个置换 P 对应的对换数为 正的波函数应为

，则真
A
对所有 置换求和
（ 1）P [ 1 ( r1 ) N ( rN )]
x i , p i 都是物理实在（即都有确定值），且 坐标和动量可同时具有确定值 坐标和动量可同时具有确定值。 这与两个自旋为 1 2 的粒子处于自旋 S 0 的态是等价的。 考虑两个自旋为 1 2 的粒子处于自旋单态。 的粒子处于自旋单态 在初始时，它们在一起，而后分开很大的距离， 在初始时，它们在 起，而后分开很大的距离， 但仍处于自旋单态。一旦测量第一个粒子的自 旋 那直接允许我们去推断第 个粒子的自旋 旋，那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋， 它始终与第 个粒子的自旋相反。 它始终与第一个粒子的自旋相反。
n 2 个粒子处于态 态。即 n1个粒子处于态 1 ； 2 或这些态的叠加态上。但它不可能告 或这些态的叠加态上 但它不可能告
你 那 个粒子处于 1 态 你，那一个粒子处于 态，那一个粒子处 那 个粒子处 于态 2 。 如 1 ( r1 ) 2 ( r2 )
1 ( r2 ) 2 ( r1 )
i
它的一个特解为
u E (1,2, N ) 1 ( r1 ) 2 ( r2 ) N ( rN )
E 1 2 N
但它不能作为体系的态函数，因体系真正 的态函数必须满足 定的交换对称性 的态函数必须满足一定的交换对称性。 A．N个费米子的波函数，泡利原理 个费米子的波函数 泡利原 由于费米子的波函数交换一对费米子是反 对称的 因此 它可以如此来构成 对称的，因此，它可以如此来构成： 取 1 ( r1 ) 2 ( r2 ) N ( rN ) 作为标准排列。 1 ( r 1 ) 2 ( r 2 ) N ( r N ) 是经过某一置换
P12 ( r1, r2 , t ) ( r2 , r1, t ) ( r1, r2 , t )
P12 ( r1, r2 , t ) ( r2 , r1, t ) ( r1, r2 , t )
A A A
s
s
s
显然
1 ( r1, r2 , t ) (1 P12 )( r1, r2 , t ) 2 1 A (r1, r2 , t ) (1 P12 )(r1, r2 , t ) 2
。
实验结果与量子力学的预言符合。
B. 对两个处于自旋单态的粒子，在四个不 同方向测量它们的自旋。 同方向测量它们的自旋 根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均 值的关系为
ˆ ) C(a ˆ ) C(a ˆ,b ˆ,c ˆ ) C(a ˆ , b ˆ , c ˆ) 2 C(a
这为另一个Bell不等ห้องสมุดไป่ตู้。
ˆ c ˆ 2 a
这时
g 1 2 2 2 2 2
这与定域隐变量理论所推得的不等式是不 相符合的。 相符合的 ˆ,c ˆ,b ˆ, a ˆ 共面， 若取 a
ˆ , a ˆ c ˆ , ˆ b a
ˆ , a ˆ c ˆ 3 ˆ b a
s
下面一些结论是重要的： 下面 些结论是重要的： A. 由于是一运动常数，因此一开始体系处于 某种交换对称态下 则以后任何时刻都处 某种交换对称态下，则以后任何时刻都处 于这态下；
B. 与其他运动常数根本不同之处在于，体 系 系要么处对称态，要么处于反对称态。这是粒 称态 称态 这 粒 子固有的属性，而不是人为地给 初条件所能 子固有的属性，而不是人为地给－初条件所能 改变的； C. 实验表明：具有自旋为半整数的粒子体 系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对 称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函 数不变，即处于对称态。
ˆ,c ˆ,b ˆ 三个方向共面， 若在测量时 取 a 若在测量时，取 个方向共面
且
ˆ , ˆ b a
ˆ c ˆ 2 , a
ˆ c ˆ b
于是
ˆ ) C(a ˆ,c ˆ,b ˆ,c ˆ ) C(b ˆ ) cos cos 2 cos C(a
2
单粒子的能量本征方程为
ˆ, p ˆ ) k ( r ) k k ( r ) h( r
ˆ (r ˆ1, r ˆ2 , p ˆ 1, p ˆ 2 ) u E ( r1, rN ) Eu( r1, rN ) H
ˆ (1,2,) h( r ˆi , p ˆi) H
ˆ ) C(a ˆ,c ˆ,b ˆ,c ˆ ) C(b ˆ) 1 C(a
这称为Bell B ll不等式。 不等式 而对这一关联测量平均值的关系，量子 力学的预言为
ˆ ) C(a ˆ ,c ˆ ) cos(a ˆ c ˆ ,b ˆ ,c ˆ ) C(b ˆ ) cos(a ˆ b ˆ c ˆ ) cos(b ˆ) C(a
第 二 十 五 讲
Ⅰ. Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell 不等式 (1) 佯谬 ( ) Einstein-Podolsky-Rosen y 爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为：两个 粒子构成 个量子力学态 对 个粒子的测量 粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量 将 接得知另 个粒子的状态 将直接得知另一个粒子的状态。