因式分解的应用

因式分解的应用

我们知道，因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的一种最基本的、行之有效的方法之一，在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面起着重要作用.下面举例说明.

一、数字计算

例 1计算：22220062005

20062004200620062+-.

分析 由于数字较大，但考虑分母中的200620042+200620062－2可写成200620042－1+200620062－1，这样可直接运用平方差公式分解因式，再提取公因式后进行适当的数字变形即可求解.

解 22220062005

20062004200620062

+-＝()()2222006200520062004

1200620061-+- ＝2200620052006200520062003200620072005

⨯+⨯ ＝()

2

2006200520062005200620052200620052-++ ＝2

220062005220062005⨯＝21.

说明 这道题要不是想到因式分解，若要硬性计算，就连计算器都有一点点的麻烦.由此我们学习了因式分解以后一定要注意它的灵活运用，使问题的求解难度降到最低限度.

二、求值

例2 一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数.

分析 假如将这个正整数设出来为a ，加上100后的完全平方数是n 2，加上168后的另一个完全平方数是m 2，这样就可以利用三个未知数列出两个方程，考虑这三个未知数都是正整数，可利用因式分解求解.

解 设这个正整数为a ，两个完全平方数分别为m 、n ，

则根据题意，得

2

2

100,

168.

a n

a m

⎧+=

⎪

⎨

+=

⎪⎩

即m2－n2＝68.

因为m2－n2＝（m+n）（m－n）＝1×2×2×17，而m、n均为正整数，

所以

68,

1

m n

m n

+=

⎧

⎨

-=

⎩

（不合题意，舍去）或

34,

2

m n

m n

+=

⎧

⎨

-=

⎩

或

17,

4.

m n

m n

+=

⎧

⎨

-=

⎩

（不合题意，

舍去）.从而

18,

16.

m

n

=

⎧

⎨

=

⎩

所以可求得a＝156.即这个正整数是156.

说明三个未知数，两个方程，若硬性求其解，确有一定的困难，但若考虑这三个未知数的特殊性，利用因式分解进行适当的变形，求解也就不太难了.

例 3 若多项式x2－xy－2y2－x－ky－6可分解为两个一次因式的积的形式，求k的值.

分析由于已知多项式可以分解成两个一次因式的积的形式，考虑x2－xy －2y2＝（x－2y）（x+y），于是可以设两个一次式分别为（x－2y+m）、（x +y+n），

这样可利用恒等式求解.

解根据题意可设x2－xy－2y2－x－ky－6＝（x－2y+m）（x+y+n）.

即x2－xy－2y2－x－ky－6＝x2－xy－2y2+（m+n）x+（m－2n）y+ mn，

则有

1,

2,

6.

m n

m n k

m n

+=-

⎧

⎪

-=-

⎨

⎪=-

⎩

即k＝7.

说明本题是待定系数法在因式分解中的具体运用.

三、整除性问题

例4 已知S＝12－22+32－42+52－62+…+992－1002+1012，求S被103整除的余数.

分析要求出S被103整除的余数，就必须求出S的具体数值，再看S的形式可以通过因式分解从中找到数字间的规律即可.

解因为S＝12－22+32－42+52－62+…+992－1002+1012

＝(1012－1002)+ (992－982)+ (972－962)+…+ (72－62)+ (52－42)+ (32－22)+1 ＝201+197+193+…+13+9+5+1

＝101+100+99+98+97+96+…+7+6+5+4+3+2+1

＝101×51＝5151，而5151÷103＝50…1，

所以S被103整除的余数为1.

说明要不是通过因式分解求得S的值，就难以估算S被103整除的余数，所以对于处理含有“……”的数字计算时，我们不妨通过因式分解化简，并从中找到其数字规律.

四、判断三角形的形状

例5 已知a、b、c为△ABC的三边，且a2+bc－ac－b2＝0.试判断△ABC的形状.

分析要判断三角形的形状，给定的是边a、b、c，于是我们从边入手寻找三边a、b、c之间的关系即能判断其形状.

解因为a2+bc－ac－b2＝（a2－b2）+（bc－ac）

＝（a+b）（a－b）+c（b－a）

＝（a－b）（a+b－c）＝0，

而a、b、c为△ABC的三边，所以a+b－c≠0，

即只有a－b＝0，所以a＝b，所以△ABC的形状是等腰三角形.

说明判断三角形的形状，若从角出发，可考虑是否是直角三角形和斜三角形.斜三角形又可分为锐角三角形和钝角三角形；若从边出发，则考虑是否是不等边三角形和等腰三角形.等腰三角形又可分为底和腰不等的等腰三角形和等边三角形.

五、解方程

例6 求方程4x2－4xy－3y2＝5的整数解.

分析观察方程中有三项二次项和一个5这个常数项，且4x2－4xy－3y2＝(2x+ y)( 2x－3y)，由于x、y 是整数，所以5＝1×5＝（－1）×（－5），这样就可以构造二元一次方程组求出x、y .

解将原方程的左边分解因式，得(2x+ y)( 2x－3y)＝5.

因为x、y 是整数，所以因式(2x+ y)与( 2x－3y)也均为整数.

所以5也只能分解为1×5或（－1）×（－5）.

所以有

25,

231,

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

或

21,

235,

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

或

25,

231,

x y

x y

+=-

⎧

⎨

-=-

⎩

或

21,

23 5.

x y

x y

+=-

⎧

⎨

-=-

⎩

解得1

12, 1,

x y =

⎧

⎨

=⎩

2

2

1,

1,

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

3

3

2,

1,

x

y

=-

⎧

⎨

=-

⎩

4

4

1,

1.

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

即共有四组解.