期末小论文单摆法测重力加速度分析与讨论
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2.368 100.15 100.99
3
2.364 100.14 100.96
4
2.366 100.15 100.94
5
平均值
2.366 100.14 100.98
2.3656 100.144 100.968
U
U
2 A
UB2
（2.1.1）
其中U A
2
xi x
nn 1
,UB
仪 3
为标准， 仪 是仪器误差，一般按仪器最小分度的
g
8 5
2
R2 T 2L
(3.2.6)
从上式可以看出， g 与摆球半径的平方成正比，那摆球大小与重力加速度还有什么关
系呢？我将进一步分析
令单位体积空气浮力为 0 ，小球体积为V 、密度为 1 ，则浮力为 f 0 gV 。浮力做功
只与高度有关，是保守力，所以摆球在浮力和重力的共同作用下，机械能是守恒的，机械能 的大小是 2
如下表 1，是设计的以摆长 L 1m ，摆角 5 的一组数据， T 是 50 次全振动的时间 t 50T ， d 为摆球直径。
表 1 用单摆 L 1m ， 5 ， t 50T 测 g 的数据
次
1
测数
量
d i cm
2.364
Li cm ti s
100.14 100.97
则根据不确定度
2
Abstract： By single pendulum measure acceleration of gravity is one of the most commonly used methods for measuring the acceleration of gravity, but usually in the heat experiment, more consideration of the cycle and the length of pendulum and the gravity acceleration relationship, while ignoring the number of cycles, ball line and swing angle and other factors on the effects of gravity acceleration. So this paper will consider the two factors have been studied on the basis of systematic discussion of cycle number, the line ball and swing angle and other factors on the impact of gravity acceleration.
E
EX
EP
1 m 2 2
mg
f
y
E
1
mL2
d
2
mg
f
L1 cos
2 dt
摆球达到最大偏角
0
时,
d0 dt
0 所以
E mg f L1 cos0
则能量方程变为
(3.2.7) (3.2.8)
1 2
mL2 d dt
2
mg
f
L1 cos
mg
f
L1 cos0
得
(3.2.9)
Key words：The line of the ball; swing angle; Acceleration of gravity
引言
重力是地球对物体万有引力的一个分力，则物体在重力作用下产生的加速度称为重力加速 度。重力加速度的大小与地理纬度、相对海平面的高度有关，一般来说，在赤道附近的重力 加速最小，越靠近两极,重力加速度越大[1]。普通物理学中用单摆法测量重力加速度，装置简 单，测量手法便捷。但用此种方法测量，测量结果的精确性直接受到周期、摆长、周期数、 摆球的线度、摆角以及周边环境等因素的影响，不同的测量条件将对重力加速度的测量产生 不同的误差。本论文着重分析研究周期数、摆球的线度及摆角对重力加速度的测量产生的影 响。并最终确定一组适合本地重力加速度的最佳测量条件，测出本地的重力加速度。
0 2
2
1
2
mL
mg
f
2
1
1 sin2 4
1 2
9 sin4 64
0 2
(3.2.11)
若0 很小时，忽略了括号中第二项及后面各项，则得
1
T
2
mL
mg
f
2
(3.2.12)
将
f
0gV
， 1
m 代入上式得 V
g
4 T
2L
2
1
1 0
1
(3.2.13)
由（3.2.13） 式可以看出，摆球密度和周边环境对重力加速度的测量有一定的影响
则
U d 0.0014 cm 0.002cm
U L 0.0039 cm 0.004 cm
U t 0.012 s 0.02s
即
d 2.366 0.002cm
L 100 .144 0.004 cm
t 100.97 0.02s
又因为
则 n 50
g
4
2 L
d 2
4
2n2
L
d 2
40
50
60
70
9.7400
9.7558
9.7882
9.7653
0.0085
0.0078
0.0089
0.011
根据表 3 结果得出重力加速度与周期数的关系
80 9.7576 0.0094
图 2 周期数与重力加速度的关系
我们知道，我们楚雄的重力加速度值约为 9.765 m s 2 ，在空气浮力和阻力以及电子表等 产生误差的情况下，根据图 2 可以看出，在实验里测重力加速度周期数一般可选取 40 次。
一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算，也可按仪器级别计算或查表。
则
U A d 0.75 10 3 cm , U A L 0.25 10 2 cm , U A t 0.86 10 2
又根据
d仪 0.002cm , L仪 0.05cm , t仪 0.01s
所以得
U B d 0.12 10 2 cm , U B L 0.29 10 2 cm , U B t 0.58 10 2 s
3.2 摆球的线度与重力加速度的关系
用单摆测重力加速度。使用公式 T 2 L ，在推导这个公式时做了四个近似处理。 g
⑴摆角 很小，可认为 sin 。
⑵忽略空气浮力和阻力。 ⑶认为摆线质量为 0，并不可伸长。 ⑷摆球看成一个质点。
由此看出，适合 T 2 L 的单摆是满足以上四个条件的，那在实验室里采用的单摆， g
1
d dt
2mg
mL
f cos
cos0 2
1
cos
1
cos0 2 d
2mg
mL
f
2
dt
由 cos 1 2 sin2 则 2
cos
cos0
2 s in 2
0 2
sin2
2
（3.2.9）式可写为
2sin2
0 2
sin2
2
1 2
d
2mg
mL
f
1
2
dt
(3.2.10)
71.294 71.291 71.290 71.289 71.299 71.290 71.2922 0.0016
85.451 85.450 85.457 85.450 85.456 85.453 85.4541 0.0015
99.762 99.758 99.764 99.760 99.763 99.761 99.7616 0.0024
普通物理实验期末小论文
题目：单摆法测重力加速度分析与讨论
学生姓名： 学 号： 指导教师： 专 业： 物理学 年 级： 院（系）： 物理与电子科学学院 学 校： 学院
单摆法测重力加速度分析与讨论
（ 中国 云南 675000）
摘要： 单摆法是测量重力加速度常用方法之一，但通常在力热实验当中，更多考虑了周期和摆长与重力加速 度的关系，而忽略了周期数、摆球的线度及摆角等因素对重力加速度的影响。所以本论文将在考虑已学的两
其摆球的大小对使用 T 2 L 测重力加速度会造成多大的影响呢？ g
前三个近似处理我们任然使用，根据（1.1.3）式则知切向力对转动轴 O′的转动力矩 M 为：
M Pt L mgL
(3.2.1)
L 为摆球重心 O 到转轴 O 的距离，即 L L R
在这个力矩作用下，单摆得到角加速度
d 2 dt 2
(3.2.2)
又因为 M , I 2 mR2 mL2 ,所以
I
5
mgL 2 I
即
(3.2.3)
由此得
L2 2 R2
T 2
5
gL
(3.2.4)
g
4 2 T2
L
2R2 5L
(3.2.5)
上式就是考虑了摆球大小后的重力加速度公式，则它与由 T 2
L g
导出的 g
4 2 L T2
相比较的
114.058 114.059 114.055 114.062 114.061 114.065 114.0583 0.0013
根据
g
4 T
2L
2
4 2
2
4 2
g g
L
d
t
2
2
2
2L d 2L d t
处理得表 3
周期数
gm s 2 gm s2
30 9.6727 0.0095
表 3 对不同周期数测得的重力加速度值
pt mg sin
(1.1.1)
负号表示 Pt 与弧位移 s 的指向相反，利用级数将 sin 展开得
pt
mg
3
3!
5
5!
1n
2n1
2n 1!
（1.1.2）
若 很小（一般要求 5 ） 得
pt mg
（1.1.3）
若忽略小球的线度，根据 s （忽略小球的大小）得 L
pt
mg
s L
又根据 Pt
ma t , at
d 2s dt 2
则
d 2s
s
g
dt 2
L
根据简谐振动方程
d 2x dt 2
2 x
,得
2 g , 2
L
T
即
g
4 2 L T2
（1.1.4）
2 单摆法测重力加速度实验误差分析
单摆法测重力加速度实验误差主要来源于系统误差和随机误差。系统误差我们将在下一 个问题中进行分析，本节着重对随机误差进行分析。
则摆长为 50.601cm ，改变周期数 6 次，测出相应的周期。
表 2 对不同周期数的测量数据及处理
周
30
40
50
60
70
80
期
N
1 2
3 4 5 6 平均值 不确定度
42.875 42．876 42.878 42.873 42.872 42.875 42.8750
0.0011
57.093 57.091 57.088 57.091 57.085 57.087 57.0891 0.0014
3 影响重力加速度测定的因素及分析
根据原理，由于忽略了空气浮力和阻力，并设 角很小，可以看出影响重力加速度不仅
与周期、摆长有关，还与周期数、摆球的线度、空气浮力和阻力及摆角等因素有关。 实验仪器：使用北京青锋仪器厂出厂的单摆仪器。
3.1 周期数与重力加速度的关系
Fra Baidu bibliotek
在温度为15 C 的条件下，去摆角 4 ，线长 51.8cm ，摆球的直径为 2.398cm
t 2
t2
n
g 9.765 m s 2
(2.1.2)
g
g
4 2
2
4 2
L 2
d
2
t 2
2L d 2L d t
(2.1.3)
得
g 0.004 m s 2
即
g 9.765 0.004 m s 2
在这个计算过程中，学生能够体会到不确定度在数据中的意义，并能很好的掌握不确定
度在实验当中的应用。
种因素的基础上着重系统的讨论周期数、摆球的线度及摆角等因素对重力加速度产生的影响。
关键词：线度；摆角；重力加速度
中图分类号：
文献标识码：
文章编号：
Pendulum method of measuring acceleration of gravity analysis and discussion
(chuxiong normal college physical and electronic science college of yunnan, 675000)
令K
sin 0 2
, sin
sin
2
sin 0
则
2
1
1
K2
s in 2
1 2
2mg
mL
f
2
dt
上式中 t 的积分限为 0 ~ 时， 的积分限为 0 ~ ，则
4
2
T
4
mL
mg
1
2
f
2 0
1 K 2 sin2
1 2
d
1
=
4
mL mg
f
2
1 1 K 2 sin2 1 3 4K 4 sin4
1 单摆法测重力加速度原理
用一根不可伸长的细线，上端固定，下端挂一小球就构成了单摆（如图 1）。
将小球拉开一定夹角，松开手（忽略空气阻力和浮力），小球将在
重力和张力的作用下做往复运动。
设线长为 L ,小球的质量为 m ，直径为 d ，任意时刻 t 绳与竖直方 向的夹角为 。
则经受力分析得小球所受合力的切向分量为
3.3 摆角与重力加速度的关系
对图 1 的受力分析还可以表示为
mg
s in
mL
d 2 dt 2
则震动周期为
T 2
L g
1
12 22
sin2
0 2
12 22
32 42
sin4
0 2
(3.3.1)
忽略二阶以上小项后，重力加速度的表达式为
3
2.364 100.14 100.96
4
2.366 100.15 100.94
5
平均值
2.366 100.14 100.98
2.3656 100.144 100.968
U
U
2 A
UB2
（2.1.1）
其中U A
2
xi x
nn 1
,UB
仪 3
为标准， 仪 是仪器误差，一般按仪器最小分度的
g
8 5
2
R2 T 2L
(3.2.6)
从上式可以看出， g 与摆球半径的平方成正比，那摆球大小与重力加速度还有什么关
系呢？我将进一步分析
令单位体积空气浮力为 0 ，小球体积为V 、密度为 1 ，则浮力为 f 0 gV 。浮力做功
只与高度有关，是保守力，所以摆球在浮力和重力的共同作用下，机械能是守恒的，机械能 的大小是 2
如下表 1，是设计的以摆长 L 1m ，摆角 5 的一组数据， T 是 50 次全振动的时间 t 50T ， d 为摆球直径。
表 1 用单摆 L 1m ， 5 ， t 50T 测 g 的数据
次
1
测数
量
d i cm
2.364
Li cm ti s
100.14 100.97
则根据不确定度
2
Abstract： By single pendulum measure acceleration of gravity is one of the most commonly used methods for measuring the acceleration of gravity, but usually in the heat experiment, more consideration of the cycle and the length of pendulum and the gravity acceleration relationship, while ignoring the number of cycles, ball line and swing angle and other factors on the effects of gravity acceleration. So this paper will consider the two factors have been studied on the basis of systematic discussion of cycle number, the line ball and swing angle and other factors on the impact of gravity acceleration.
E
EX
EP
1 m 2 2
mg
f
y
E
1
mL2
d
2
mg
f
L1 cos
2 dt
摆球达到最大偏角
0
时,
d0 dt
0 所以
E mg f L1 cos0
则能量方程变为
(3.2.7) (3.2.8)
1 2
mL2 d dt
2
mg
f
L1 cos
mg
f
L1 cos0
得
(3.2.9)
Key words：The line of the ball; swing angle; Acceleration of gravity
引言
重力是地球对物体万有引力的一个分力，则物体在重力作用下产生的加速度称为重力加速 度。重力加速度的大小与地理纬度、相对海平面的高度有关，一般来说，在赤道附近的重力 加速最小，越靠近两极,重力加速度越大[1]。普通物理学中用单摆法测量重力加速度，装置简 单，测量手法便捷。但用此种方法测量，测量结果的精确性直接受到周期、摆长、周期数、 摆球的线度、摆角以及周边环境等因素的影响，不同的测量条件将对重力加速度的测量产生 不同的误差。本论文着重分析研究周期数、摆球的线度及摆角对重力加速度的测量产生的影 响。并最终确定一组适合本地重力加速度的最佳测量条件，测出本地的重力加速度。
0 2
2
1
2
mL
mg
f
2
1
1 sin2 4
1 2
9 sin4 64
0 2
(3.2.11)
若0 很小时，忽略了括号中第二项及后面各项，则得
1
T
2
mL
mg
f
2
(3.2.12)
将
f
0gV
， 1
m 代入上式得 V
g
4 T
2L
2
1
1 0
1
(3.2.13)
由（3.2.13） 式可以看出，摆球密度和周边环境对重力加速度的测量有一定的影响
则
U d 0.0014 cm 0.002cm
U L 0.0039 cm 0.004 cm
U t 0.012 s 0.02s
即
d 2.366 0.002cm
L 100 .144 0.004 cm
t 100.97 0.02s
又因为
则 n 50
g
4
2 L
d 2
4
2n2
L
d 2
40
50
60
70
9.7400
9.7558
9.7882
9.7653
0.0085
0.0078
0.0089
0.011
根据表 3 结果得出重力加速度与周期数的关系
80 9.7576 0.0094
图 2 周期数与重力加速度的关系
我们知道，我们楚雄的重力加速度值约为 9.765 m s 2 ，在空气浮力和阻力以及电子表等 产生误差的情况下，根据图 2 可以看出，在实验里测重力加速度周期数一般可选取 40 次。
一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算，也可按仪器级别计算或查表。
则
U A d 0.75 10 3 cm , U A L 0.25 10 2 cm , U A t 0.86 10 2
又根据
d仪 0.002cm , L仪 0.05cm , t仪 0.01s
所以得
U B d 0.12 10 2 cm , U B L 0.29 10 2 cm , U B t 0.58 10 2 s
3.2 摆球的线度与重力加速度的关系
用单摆测重力加速度。使用公式 T 2 L ，在推导这个公式时做了四个近似处理。 g
⑴摆角 很小，可认为 sin 。
⑵忽略空气浮力和阻力。 ⑶认为摆线质量为 0，并不可伸长。 ⑷摆球看成一个质点。
由此看出，适合 T 2 L 的单摆是满足以上四个条件的，那在实验室里采用的单摆， g
1
d dt
2mg
mL
f cos
cos0 2
1
cos
1
cos0 2 d
2mg
mL
f
2
dt
由 cos 1 2 sin2 则 2
cos
cos0
2 s in 2
0 2
sin2
2
（3.2.9）式可写为
2sin2
0 2
sin2
2
1 2
d
2mg
mL
f
1
2
dt
(3.2.10)
71.294 71.291 71.290 71.289 71.299 71.290 71.2922 0.0016
85.451 85.450 85.457 85.450 85.456 85.453 85.4541 0.0015
99.762 99.758 99.764 99.760 99.763 99.761 99.7616 0.0024
普通物理实验期末小论文
题目：单摆法测重力加速度分析与讨论
学生姓名： 学 号： 指导教师： 专 业： 物理学 年 级： 院（系）： 物理与电子科学学院 学 校： 学院
单摆法测重力加速度分析与讨论
（ 中国 云南 675000）
摘要： 单摆法是测量重力加速度常用方法之一，但通常在力热实验当中，更多考虑了周期和摆长与重力加速 度的关系，而忽略了周期数、摆球的线度及摆角等因素对重力加速度的影响。所以本论文将在考虑已学的两
其摆球的大小对使用 T 2 L 测重力加速度会造成多大的影响呢？ g
前三个近似处理我们任然使用，根据（1.1.3）式则知切向力对转动轴 O′的转动力矩 M 为：
M Pt L mgL
(3.2.1)
L 为摆球重心 O 到转轴 O 的距离，即 L L R
在这个力矩作用下，单摆得到角加速度
d 2 dt 2
(3.2.2)
又因为 M , I 2 mR2 mL2 ,所以
I
5
mgL 2 I
即
(3.2.3)
由此得
L2 2 R2
T 2
5
gL
(3.2.4)
g
4 2 T2
L
2R2 5L
(3.2.5)
上式就是考虑了摆球大小后的重力加速度公式，则它与由 T 2
L g
导出的 g
4 2 L T2
相比较的
114.058 114.059 114.055 114.062 114.061 114.065 114.0583 0.0013
根据
g
4 T
2L
2
4 2
2
4 2
g g
L
d
t
2
2
2
2L d 2L d t
处理得表 3
周期数
gm s 2 gm s2
30 9.6727 0.0095
表 3 对不同周期数测得的重力加速度值
pt mg sin
(1.1.1)
负号表示 Pt 与弧位移 s 的指向相反，利用级数将 sin 展开得
pt
mg
3
3!
5
5!
1n
2n1
2n 1!
（1.1.2）
若 很小（一般要求 5 ） 得
pt mg
（1.1.3）
若忽略小球的线度，根据 s （忽略小球的大小）得 L
pt
mg
s L
又根据 Pt
ma t , at
d 2s dt 2
则
d 2s
s
g
dt 2
L
根据简谐振动方程
d 2x dt 2
2 x
,得
2 g , 2
L
T
即
g
4 2 L T2
（1.1.4）
2 单摆法测重力加速度实验误差分析
单摆法测重力加速度实验误差主要来源于系统误差和随机误差。系统误差我们将在下一 个问题中进行分析，本节着重对随机误差进行分析。
则摆长为 50.601cm ，改变周期数 6 次，测出相应的周期。
表 2 对不同周期数的测量数据及处理
周
30
40
50
60
70
80
期
N
1 2
3 4 5 6 平均值 不确定度
42.875 42．876 42.878 42.873 42.872 42.875 42.8750
0.0011
57.093 57.091 57.088 57.091 57.085 57.087 57.0891 0.0014
3 影响重力加速度测定的因素及分析
根据原理，由于忽略了空气浮力和阻力，并设 角很小，可以看出影响重力加速度不仅
与周期、摆长有关，还与周期数、摆球的线度、空气浮力和阻力及摆角等因素有关。 实验仪器：使用北京青锋仪器厂出厂的单摆仪器。
3.1 周期数与重力加速度的关系
Fra Baidu bibliotek
在温度为15 C 的条件下，去摆角 4 ，线长 51.8cm ，摆球的直径为 2.398cm
t 2
t2
n
g 9.765 m s 2
(2.1.2)
g
g
4 2
2
4 2
L 2
d
2
t 2
2L d 2L d t
(2.1.3)
得
g 0.004 m s 2
即
g 9.765 0.004 m s 2
在这个计算过程中，学生能够体会到不确定度在数据中的意义，并能很好的掌握不确定
度在实验当中的应用。
种因素的基础上着重系统的讨论周期数、摆球的线度及摆角等因素对重力加速度产生的影响。
关键词：线度；摆角；重力加速度
中图分类号：
文献标识码：
文章编号：
Pendulum method of measuring acceleration of gravity analysis and discussion
(chuxiong normal college physical and electronic science college of yunnan, 675000)
令K
sin 0 2
, sin
sin
2
sin 0
则
2
1
1
K2
s in 2
1 2
2mg
mL
f
2
dt
上式中 t 的积分限为 0 ~ 时， 的积分限为 0 ~ ，则
4
2
T
4
mL
mg
1
2
f
2 0
1 K 2 sin2
1 2
d
1
=
4
mL mg
f
2
1 1 K 2 sin2 1 3 4K 4 sin4
1 单摆法测重力加速度原理
用一根不可伸长的细线，上端固定，下端挂一小球就构成了单摆（如图 1）。
将小球拉开一定夹角，松开手（忽略空气阻力和浮力），小球将在
重力和张力的作用下做往复运动。
设线长为 L ,小球的质量为 m ，直径为 d ，任意时刻 t 绳与竖直方 向的夹角为 。
则经受力分析得小球所受合力的切向分量为
3.3 摆角与重力加速度的关系
对图 1 的受力分析还可以表示为
mg
s in
mL
d 2 dt 2
则震动周期为
T 2
L g
1
12 22
sin2
0 2
12 22
32 42
sin4
0 2
(3.3.1)
忽略二阶以上小项后，重力加速度的表达式为