2.2.2事件的相互独立性(二)
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高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性（二）
复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概
率为：P(AB)= P(A)P(B)
.
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A， B中有一个发生）的概率：P(A+B)= P(A)+P(B) .
一般地，如果事件 A1、A2、...An，彼此互斥，那
么事件 A1 A2 +...+An 发生（即 A1、A2、...An 中
（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 顾的概率分别为多少？
（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的 概率。
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
A·B （2∴）“P至( A少·B有）一= 次P（中A靶）”·P是（指B）(中= , 不中), (不中, 中), (中, 中) （3）即“A至·多B 有+ A一·B次+中A靶·B”. ∴是求指P((A中·B, 不+中A·)B, (+不A中·B,)中), (中, 中)
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中)
练习：某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
恰有一个发生）的概率：
P(A1 A2 +...+An ) P(A1) P(A2) ... P(An )
例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 4 ，
3
7
5
乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 。
5
10
（1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有一名同学当选的概率。
引申：
甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、 0.5、0.8。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如 果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中， 则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
练习：
某系统由A,B,C三个元件组成,每个元件正常工作概 率为P.则系统正常工作的概率为____
A
B
wk.baidu.com
C
练习：
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间 没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾 的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1， 乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____ 13 30
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
(1-a)(1-b)
例5（06，四川）某课程考核分理论与实验两部分进
例4（05，全国）盒中有大小相同的球10个，其中
标号为1的球有3个，标号为2的球有4个，标号为5的 球有3个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再 取1个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记
第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的
分布列。
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 14 25
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__5_
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 分别是m, n . 则此题被解对的概率是__m_+_n__- _mn
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）
2.2.2事件的相互独 立性（二）
复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概
率为：P(AB)= P(A)P(B)
.
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A， B中有一个发生）的概率：P(A+B)= P(A)+P(B) .
一般地，如果事件 A1、A2、...An，彼此互斥，那
么事件 A1 A2 +...+An 发生（即 A1、A2、...An 中
（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 顾的概率分别为多少？
（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的 概率。
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
A·B （2∴）“P至( A少·B有）一= 次P（中A靶）”·P是（指B）(中= , 不中), (不中, 中), (中, 中) （3）即“A至·多B 有+ A一·B次+中A靶·B”. ∴是求指P((A中·B, 不+中A·)B, (+不A中·B,)中), (中, 中)
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中)
练习：某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
恰有一个发生）的概率：
P(A1 A2 +...+An ) P(A1) P(A2) ... P(An )
例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 4 ，
3
7
5
乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 。
5
10
（1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有一名同学当选的概率。
引申：
甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、 0.5、0.8。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如 果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中， 则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
练习：
某系统由A,B,C三个元件组成,每个元件正常工作概 率为P.则系统正常工作的概率为____
A
B
wk.baidu.com
C
练习：
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间 没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾 的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1， 乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____ 13 30
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
(1-a)(1-b)
例5（06，四川）某课程考核分理论与实验两部分进
例4（05，全国）盒中有大小相同的球10个，其中
标号为1的球有3个，标号为2的球有4个，标号为5的 球有3个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再 取1个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记
第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的
分布列。
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 14 25
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__5_
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 分别是m, n . 则此题被解对的概率是__m_+_n__- _mn
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）