第6章 双变量线性回归模型的延伸

（6.2.10） （6.2.11）
*2 *2
xi y i
* *2 i
*
ˆ* var(
1
x X ) n x
i i

*2
（6.2.12） （6.2.13）
* ˆ var( 2 )
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*2 *2
x
i 贵州财经大学经济研究所 白万平 教授
n2 把上述结果和第3章OLS估计量结果进行比较，可见：
我们将讨论以下的三种回归模型： 1．对数线性模型 2．半对数模型 3．倒数模型
§6.5 如何测度弹性：对数线性模型
指数回归模型（exponential regression model）
Yi 1 X i e
可化为：
2 ui
（6.5.1） （6.5.2）
ln Yi ln 1 2 ln X i ui
（3.1.6）
ˆ ) var( 2
xi
2
2
（3.3.1）
n2 可见：第一，对有截距项的模型来说，
ˆ2
2 ˆ u i
截距项的模型， u ˆi 0 不一定成立，只有
ˆ u
ˆX u
i
i
0；对无
i
0 。
第二，对有截距项的模型，判定系数 r 2 0 ；但是，对无 截距模型来说，有时可能出现负值。这时，一般可以计算 “粗 r 2 ”：
( ERi rf ) i (ERm rf )
（6.1.2）
这就是所谓风险溢价或升水（risk-premium）的形式。
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其中：
ERi ——第i种证券的期望回报率
准蒲尔S&P500股票指数来代表。
ERm——市场组合证券的期望回报率，比如，它可用标
Leabharlann Baidu
rf
——无风险回报，比如，90天国库券回报率
险（systematic risk）的一种度量，也用来指第i种证券回报 与市场互动程度的一种度量。
i ——Beta系数，指不能通过分散化而消除的系统风
i 1，该证券是易波动性的（ volatile ）或进攻型 （aggressive）证券； i 1 ，为防御型（defensive）证券。
Yt Y0 (1 r )t
（6.6.1）
其中r是Y的复合增长率（在时间轴上的增长率，类似于连续 复利）。
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对上式取自然对数，得：
ln Yt ln Y0 t ln(1 r )
再令： 1 lnY0
（6.6.2） （6.6.3）
ln Yi 2 ln X i ui
（6.5.3）
X i ln X i，则（6.4.3）式可以写成： 如果令 Yi * lnYi ，
*
Yi 2 X i ui
* *
（6.5.4）
ˆ， 这样以来，就可以直接使用OLS法做回归，所得的
ˆ 分别是 ， 的最佳线性无偏估计量。 2 2
对于无截距的模型：
2 2 ˆ2 X2 RSS ui Yi 2 i
TSS yi Yi NY 2
2 2
2 2 2 ˆ X 于是有可能再现 2 i NY ，∴ RSS有可能大于
2 TSS，所以， r 可能是负的 。
但是，在截距项经过检验在统计上不显著时，用过原点 回归模型将提高估计的准确性。
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2
d ln Y dY / Y 回归子的相对改变量 dX dX 回归元的绝对改变量
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双对数模型的一个最大的优点是，斜率 2 就是Y对X的弹 1 性： dY d (lnY ) Y dY / Y 2 d (ln X ) 1 dX / X dX X 如果Y代表商品需求量Q，X代表商品价格P，可见 2 就表 示该商品的需求价格弹性。而弹性在经济学中具有广泛的 运用： 对数——线性模型有两个特点： ①Y对X的弹性在整个研究范围内是常数，一直为 2，因此 这种模型也称为不变弹性模型（constant elasticity model）。
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ˆ X u ˆi Yi 2 i
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（6.1.5）
ˆ X )2 OLS法： u ˆi 2 (Yi 2 i
ˆ 求一阶条件： 对 2
2 2
ˆi du ˆ X )( X ) 0 2 (Yi 2 i i ˆ d
ˆ ) var( 2
2
（2）式意味着：
ˆX u
i
i
0
2 i
（7） （6.1.8）
总体方差 2 的估计式为：
ˆ
2
ˆ u
n 1
把上述公式和下面的有截距项的模型的公式比较一下：
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xi y i ˆ 2 2 x i
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ln 表示自然对数（natural log）。
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进一步可以写为：
其中 ln 1。这个模型对参数 和 为线性的， 因而可以用OLS法来做回归分析。 这 种 模 型 被 称 为 对 数 一 对 数 （ log-log ） ， 双 对 数 （double-log）或对数一线性（log-linear）模型。
运用 Yi * 和 X i *的回归为：
*
*
* * * ˆ ˆ ˆi Yi 1 2 X i u
（6.2.4）
* 其中， Yi * 1Yi ， X i 2 X i ，并且 u ˆi 1u ˆi
。
用OLS法，得：
ˆ * Y * ˆ *X * 1 2
ˆ * 2
第6章 双变量线性回归模型
的延伸
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过原点回归
尺度与测量单位 标准化变量回归
如何测度弹性
半对数模型 倒数模型
函数模型的选择
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§6.1 过原点回归 在实践中，双变量PRF有时采取如下的形式：
E( X i ui ) E(ui ) X i 0
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X i ui 2 2 ˆ E ( 2 2 ) E[ ] 2 Xi
（5）
2 （6.1.7） X i 将（5）式的右端展开，注意到X i 是非随机的， E(ui ) 2 ， 且无自相关。
ˆ
*2
ˆ u
*2 i
（ 6.2.14）
ˆ
* 2
1 ˆ 2 2
1 1
* ˆ ˆ 1
ˆ *2 12 ˆ2
* ˆ ˆ) var(1 ) 12 var( 1
1 2 * ˆ ˆ ) var( 2 ) ( ) var( 2 2
ˆ 是无偏估计量，但是进入原始模型的参数 ②虽然 ˆ 和 2
1的估计值 ˆ 却是有偏估计， 1 ˆ 等于 ˆ 的反对数） ˆ （ ∵ 1 antilog 1
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§6.6 半对数模型 线性到对数与对数到线性模型 一、怎样测量增长率：线性到对数模型（The Log-Lin Model） 表 6-3列出了美国个人消费支出的分类数据。如何根据这 些数据，求个人劳务消费支出的增长率？ 令Yt＝时期t的劳务实际支出 Y0＝劳务实际支出的初始值（为2002年第四季度末的值 则有：
2 ln(1 r )
（6.6.2）式变为：
（6.6.4）
（6.6.5） （6.6.6）
ln Yt 1 2t
对应的计量模型为：
ln Yt 1 2t ut
注意：这里的回归元是时间，取值为1，2，3，……
形 为 （ 6.6.6 ） 这 样 的 模 型 叫 做 半 对 数 模 型 （ semilog models ）。只有回归子 Y 取对数的模型叫做线性到对数模 型（log-lin model）。
（2） （6.1.6）
ˆ 2
ˆ 的方差： 下面求 2
X Y X
i i 2 i
将PRF： Yi 2 X i ui
ˆ 2
代入（6.1.6）式得：
2 Xu X
i i i
X
i
Xi
( 2 X i ui )
2
2
ˆ ) E( 2 2
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§6.2 尺度与测量单位 在回归分析中，因变量Y和解释变量X的测量单位的不同 会造成回归结果的差异吗？ 令：
ˆ ˆ X u Yi 1 2 i i
（6.2.1）
其中，Y代表GPDI（Goss Private Domestic Investment）， X代表GNP，见P157 Table 6.2 定义：
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r r
2 xy
2 x * y*
（6.2.20）
结论：（1）当 1 2，即尺度因子相等时， 斜率系 数及其标准误不受尺度从（ Yi , X i ）到（ Yi * , X i *）的影响。 截距及其标准误却放大或缩小至1 倍。 （2）X尺度不变（ 2 1），Y尺度因子 1 变化，那么， 斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以同样的1
ERi rf ——第i种证券的期望风险溢价 ERm rf ——期望市场风险溢价
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如果资本市场能够有效运行，则CAPM要求：（6.1.2）式 成立。于是，可以得到P150图6.1，这条直线就叫做证券市场 线（security market line, 即SML）。 为了做实证研究，（6.1.2）也常常写成：
Yi * 1Yi
X i * 2 X i
（6.2.2） （6.2.3）
其中， 或不等。
2 为常数，称为尺度因子；1 和 2可相等 1 和
如果 Yi和 X i 是以10亿美元计量的，我们把它们改为用 百万美元去度量，就会有：
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* 贵州财经大学经济研究所 白万平 教授 1 2 1000 1000X i ， Yi 1000 Yi ， X i
raw r 2
Xi
2 ( X Y ) ii 2
Yi
2
而
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RSS r 1 1 2 TSS y i
2
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2 ˆ u i
对于有截距的模型：
2 2 ˆ 2 x2 y2 RSS ui yi i 2 i
因子。
（3）Y尺度不变（ 1 1 ）， 而X尺度因子 2 变化，那 1 么，斜率系数及其标准误都要乘以因子 ，而截距系数 2 及其标准误不变。
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§6.3 标准化变量回归
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§6.4 回归模型的函数形式
Yi 2 X i ui
（6.1.1）
此模型的特点是没有截距项，因此被称为过原点回归 （regression through the origin）。
适用于这种模型的例子： M· 弗里德曼的持久收入假说 （ permanent income hypothesis ） ； 资 本 资 产 定 价 模 型 （ CAPM ），等等。 下面以资本资产定价模型为例来加以说明。 CAPM ： the capital Asset Pricing Model.
Ri rf i ( Rm rf ) ui
或： Ri rf i i (Rm rf ) ui
（6.1.3）
（6.1.4）
（6.1.4）式就是所谓的市场模型（Market Model）。 需要注意的是：①这里的解释变量为波动性系数 i ，而不 是 (Rm rf ) 。而 i 需要从特征线（characteristic line）中估 计出来，见P137习题5.5。②CAPM成立，则预期 i 为零。 这样的模型如何估计呢？ 这类模型的SRF可以写成：