利用空间向量求角和距离

解:(2)因为 A(2,0,0),C(0,1,0),
uuur
uuur
所以 PA =(2,0,-2 3 ), BC =(-2,-3,0),
? ? uuur uuur 2? ??2?? 0? ??3??
因为∠ADC=∠DAB= 90 °,AB=4,AD=2. 所以B(2,4,0). 由PD⊥平面 ABCD,
得∠PAD为 PA 与平面ABCD 所成的角,所以∠PAD= 60°.
23
23
在Rt △PAD 中,由AD=2, 得PD= .所以P(0,0, ).
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
uuur uuur
uuur uuur
又 AE · CF =| AE || CF |cos< AE , CF >= 30 cos< AE , CF >,
uuur uuur 所以 cos< AE , CF >=
30 ,所以所求角的余弦值为
30 .
10
10
一题多变:将题目中的点F改为“AB的中点”,求异面直线AE与C1F所成角的余弦值.
答案:(1)两角互余,即θ+ ?=90°.(2) 互补.
梳理 空间角与向量的关系
角
特征、描述
与向量的关系
线线角 线面角
两异面直线所成的角是平移后相应两
相(交0,直线π ]所成的角 ,其范围是 2
.
π 2
直线与平面所成的角范围是[0, ]
两异面直线所成的角为θ,它们
的方向向量为a,b,则cosθ=
a ?b
向量法处理
uuur |AB|=| AB |=
?x1 ? x2 ?2 +?y1 ? y2 ?2 ? ?z1 ? z2 ?2
uuur PA ?n
若 n⊥l,A∈l,则 P 到 l 的距离 d=
n
点到平面 点 P 到平面α的距离,即为 P 点向平面α作垂 的距离 线,所得垂线段的长
P?α,O∈α,n 为α的一个法向量,则 P 点到平面
②用基底表示两异面直线的方向向量; ③利用公式cos<a,b>=a ?b ,求出两直线的方向向量的夹角;
ab
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角. (2) 用坐标法求异面直线的夹角的方法
①建立恰当的空间直角坐标系;
②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;
知识点一 空间角与向量的关系 问题1:(1)如图(1)所示,直线l与平面α相交,所成的角为θ,直线的方向向 量为a,平面的法向量为n,在图(1)中,角θ与 ? 角有什么关系? (2)如图(2)所示,平面α∩β=l,平面α的法向量为 m,平面β的法向量为n. 在图 (2) 中,两平面所成的二面角与法向量 m,n 所成的角之间具有怎样 的关系?
间直角坐标系 ,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
则 AE =(-1,0,2), CF =(1,-1,2),所以| AE |= 5 ,| CF |= 6 . AE · CF =-1+0+4=3.
uuur uuur uuur uuur
第二课时 利用空间向量求角和距离
课标要求
1. 理解直线与平面所成角和点到 平面的距离的概念. 2. 能够利用向量方法解决线线、 线面、面面的夹角问题及各种空 间距离. 3.体会空间向量解决立体几何问
题的三步曲.
素养达成
通过对命题的学习,使学生养成分 析问题解决问题的能力,提升了学 生的辨析能力.
新知探求 素养养成
uuur uuuur
uuur uuuur
又 AE · C1F =| AE |·| C1F |·cos< AE , C1F >=3 5 ·cos< AE , C1F >,
uuur uuuur 所以 cos< AE , C1F >=-
25 5
.所以所求角的余弦值为
2 5. 5
方法技巧 (1) 用基向量法求异面直线的夹角的方法 ①作空间几何体的图形,并找出基底;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
【备用例1】 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为 60°.在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;
解:(1) 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
ab
|cos<a,b>|=
.
若直线 l的方向向量为 a ,平面α的 法向量为n,则l与α所成的角就是 向量<a ,n >的余角或其补角的余角
二面角
[0,π]
二面角的大小,可以通过其平面角
来度量,其范围是
.
(1)在两个半平面内分别与棱垂直 的两向量的夹角(或补角)即为二面 角的大小; (2)两个半平面的法向量的夹角 (或
知识点二 空间距离与向量的关系
问题2:如图所示 ,直线AB与平面α相交于点A,BO⊥平面α,垂足为 O.在图 中,如何借助法向量求B点到平面α的距离BO的长?
uuur 答案:BO 的长实际上可以看作向量 BA在法向量 n 上的投影的绝
来自百度文库uuur
uuur
uuur
BA?n
对值,即|BO|=|| BA|·cos< BA,n>|=
uuur PO ?n
α的距离 d=
n
课堂探究 素养提升
题型一 求异面直线所成的角
【例1】 正方体 ABCD-A 1B1C1D1中,E,F分别是 A1D1,A1C1的中点 .求异面直线 AE与CF所成角的余弦值 .
解:不妨设正方体棱长为 2, 分别以 DA,DC,DD 1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z轴建立如图所示空
.
n
梳理 空间距离与向量的关系
距离类别 两点间的
距离
点到直线 的距离
特征描述 空间两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离
|AB|=
?x1 ? x2 ?2 + ?y1 ? y2 ?2 ? ?z1 ? z2 ?2
点 P 到直线 l 的距离,即由 P 点向 l 作垂线所得 垂线段的长
uuuur
uuur
解:同例 1 所得,此时 F(2,1,0),C 1(0,2,2). 所以 C1F =(2,-1,-2), AE =(-1,0,2),
uuur
uuuur uuur uuuur
所以| AE |= 5 ,| C1F |=3, AE · C1F =-6,
uuur uuuur uuur
uuuur