椭圆型偏微分方程

i 1
n


u
v dS n
(1.3)
3
若将(1.3)中的
u和 v互相对换,又得


vnud
v u
i 1
n
xi xi
d
u v n dS
(1.4)
我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式. 若将(1.3)与(1.4)相减,则得

上达到, 那么它必在 内的某一点 P0 ( x0 y0 z0 )达到, 记 u(P0 ) M
当然 M 也是u在上的最大值.
15
以 P 为心 R 为半径作球 K R 使K R完全包含于内, 记 K R 的球面为 S R,可以证明,在 S R上有
0
u M
事实上,若函数 u 在SR上某一点的值小于 M , 则由连续性知, 在球面 SR 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
4
nu ux1x1 ux2 x2
则称 u在区域 内是调和函数.
uxn xn 0
(1.6)
如果nu 0( 0) , 则称u在区域 内是下调和(上调和)函数. 如果 是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P( x x x ) 趋于无穷远时, 函数u 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数
(1.7)
为自变量的 由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r 常微分方程
1 2 u (r ) 0 2 r r r
6
其通解可写为
u
c1 c2 r
这里c1 , c 2 是任意常数. 从而推得
所以函数u
1 r
是一个球对称特解,
1 1 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
‚ K 上,函数
u
和v
代入公式(1.5)得
1 r 都满足第二Green公式的条件,

1 因为 r
‚
1 1 1 1 u u ( ) u d 3 3 u ( ) dS , K r r . n r r n
0 0 0 0
12
u ( P0 )
1 4
1 1 u u dS r n n ( r )
(1.13)
证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u ( P0 ) 1 2 1 1 u ln u (ln ) dl n r r n
1 4 R 2

R
udS
(1.15)
13
证 将公式(1.13)应用于球面 R 上,得到
u ( P0 ) 1 4 1 1 u u dS R r n n ( r )
这里 r R ,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零, 又因为 在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是
§1 调和函数
【知识点提示】 Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。 【重、难点提示】 利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的 基本性质。 【教学目的】 掌握调和函数的定义和性质。
1
1.1.
Green公式
散度定理： 设是 n 维空间中以足够光滑的曲面 所围成的
1 1 1 ( ) ( ) R R 2 n r r r R
所以有
u ( P0 ) 1 4 R 2

R
udS
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式(1.15)
14
称为平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的


ln
(1.11)
其中dl表示 上的线元素,d 是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质
性质 6.1 设 u( x y z )是有界区域 内的调和函数, 且在 上有连续的一阶偏导数,则
11
u n dS 0.
(1.12)
证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 v 1 ,取 u为所给的调和 函数, 就可得到(1.12).由此性质可得出, Laplace方程的第二边 值问题
二维Laplace方程的基本解 ln r 定理 6.1 设函数 u( x y z )在有界区域 内二阶连续可微, 在
上连续且有连续的一阶偏导数,
则当点 P ( x y z ) 时, 有
0 0 0 0
8
u ( P0 )
其中 r
1 4
1 1 1 u u ( ) dS n r 4 r n
定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式.
定理 6.2 设函数 u ( x y)在有界区域 内二阶连续可微， 在
上连续且有连续的一阶偏导数，则当点 P0 ( x0 y0 ) 时有
u( P0 ) 1 2 1 u 1 1 ln u ln dl n r 2 r n 1 2 ud r
1 2 n
A ,使当点P 与坐标原点的距离r A 时, 总有
u ( P)
按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.
调和方程的基本解
我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.
5
首先我们考虑三维的情形. 用( x y z)表示三维空间中的点( x1 x2 x3 )改写三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为
0 0 0
函数 且无穷次可微.
其次, 考虑二维Laplace方程 2u uxx uyy 0 在极坐标变换
x x0 rcos y y0 rsin
下它可化为
1 u 1 2u (r ) 2 2 0 2u r r r r
1
(1.8)
(1.10)
1 ( 在区域 ‚ K 内是调和函数, 所以有 3 ) 0 另外边界 r 上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心P0
的方向, 所以在 上有
9
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n r r r r
从而得到在 上的积分为
1 1 u u ( ) dS r n n r 1 1 u 2 udS dS n u 4 u 4 ( ) n

3

u d r
(1.9)
是边界曲面 的外单位法向, dS是曲面 上的面积单元, d 是体积单元.
( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 n
证 以 P0为中心 为半径作球 K 使 K 表示该球的球面,
于是在区域
在任一不包含点 P0 ( x0 y0 z0 )的区域内是调和的, 它在点 P0 处有奇性. 称函数 1 1 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 为三维Laplace方程(1.6)的基本解
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注 基本解在 ( x y z) ( x y z ) 时关于( x y z) 或( x0 y0 z0 ) 都是调和
uM
, 于是在 SR 上成立不等式
1 4 R 2

SR
udS
1 4 R 2

SR
MdS M
但由平均值公式(1.15),有
1 udS u ( P0 ) M 2 S 4 R R
这就发生了矛盾. 所以在球面 SR 上,必须有 u M
x x0 rsin cos y y0 rsin sin z z rcos . 0
则(1.6)(取 n 3)可化为
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 3u 2 2 r r r r sin r sin
3 u 0 ( x y z ) u . n
有解的必要条件是函数 满足


dS 0.
性质 6.2 设 u( x y z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域
上有连续的一阶偏导数,则在
内的任一点P ( x y z ) 处有
(1.14)
其中是平面上有界区域 的边界. 性质 6.3 (平均值定理) 设 u( x y z)是区域 内的调和函数,
P0 ( x0 y0 z0 ) 是 内的任一点以, P0 为心 R 为半径作球 K R只要球 K R
连同其边界 包含在 内,则有公式
R
u ( P0 )
平均值. 注1 对区域 内的下调和(上调和)函数u, 我们有
u ( P0 ) 1 4 R 2 1 udS u ( P ) 0 R 4 R 2 udS R
(1.17)
性质 6.4 (强极值原理) 假设不恒为常数的函数 u ( x y z ), 在有界区域 内调和且在 上连续, 则它在 上的最大 值和最小值只能在 的边界 上达到. 证 用反证法. 假设调和函数 u( x y z )在 上的最大值不在
其中u 和 可写成

u n

u 分别是函数u 和 n 在 球面上的平均值.于是(1.10)

‚ K
1 u 1 1 u ( ) u ( ) . 3 ud u dS 4 r n r r n n

(u n v v n u )d
v u u v dS n n
(1.5)
我们把(1.5)称为第二Green公式. 1.2. 调和函数与基本解 n R 的有 u ( x x x ) 定义 6.1 对于函数 1 2 n ,如果它在 n 维空间 界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程：
偏导数. 在公式(1.1)中令
得到

v u dx1 i 1 xi xi
n
dxn
v cos(n xi )dS u i 1 xi
(1.2)
(1.2)可改写成为


u n vd


uxi vxi d
有界连通区域, n 是wk.baidu.com面的外单位法向. 若函数 Pi ( x1 x2 xn )
(i 1 2 n) 在闭区域 上连续, 在 内有一阶的连续偏
P i dx1 i 1 xi
n
导数, 则

dxn
Pcos(n x )dS ,
i 1 i i
n
(1.1)
其中 cos(n xi ) 表示曲面 的外单位法向n与 x轴的方向余弦 , dS i 是 上的面积元素.
2
Green公式的推导：
设函数 u( x1 x2
xn ) 和v( x1 x2
P i u v i 1 2 xi
n
xn )在内有连续的二阶
n
因为u及 在上连续，所以 关于 一致有界, 且当 0时,有
u n
u n
u u ( P 0)
,
u n
0 ‚ K
10
于是由上式即得
u ( P0 ) 1 4 1 1 1 u u ( ) dS r n n r 4 1 r 3 ud