中考二次函数与面积有关的问题(含答案)

中考二次函数与面积有关的问题

1. （2015桂林）如图，已知抛物线y = -x 2

+bx +c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ,动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动. (1)求抛物线的解析式；

(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式：当t 为何值时，△CED 的面积最大?最大面积是多少?

(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

第1题图

2

1

2. （2015海南）如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1,0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3,0)，AD 平行GC 交y 轴于点D . （1）求该二次函数的表达式；

（2）求证：四边形ACHD 是正方形；

（3）如图②，点M (t ,p )是该二次函数图象上的动点，并且点M 在第二象限内，过点M 的直线y =kx 交二次函数的图象于另一点N .

①若四边形ADCM 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数表达式，并写出t 的取值范围；

②若△CMN 的面积等于

，请求出此时①中S 的值.

图① 图② 第2题图

4

21

3. (2015深圳)如图①，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；

（3）如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

图①图②

第3题图

4. （2015武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.

（1）求此抛物线的解析式和对称轴；

（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

第4题图

【答案】

1.解：(1)将点A (0，8)、B (8，0)代入抛物线y = -x 2

+bx +c ，

得,解得，

∴抛物线的解析式为y = -

x 2

+3x +8. (2)∵点A (0,8)、B (8，0)，∴OA =8,OB =8， 令y =0，得 -x 2

+3x +8=0, 解得:x 1=8,x 2=-2,

∵点E 在x 轴的负半轴上， ∴点E (-2，0)，∴OE =2，

根据题意得：当D 点运动t 秒时，BD =t,OC =t , ∴OD =8-t ,

∴DE =OE +OD =10-t ,

∴S △CED =DE ·OC = (10-t )·t = -t 2

+5t ,

即S = -

t 2+5t =- (t -5)2+,

∴当t =5时，S △CED 最大＝

(3)存在.由(2)知：当t =5时，S △CED 最大＝ ∴当t =5时，OC =5,OD =3, ∴C (0,5),D (3,0), 由勾股定理得CD =,

设直线CD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0）, 将C (0,5),D (3,0)，代入上式得：

解得,∴直线CD 的解析式为 2

1⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=08642

1-8c b c ⎩⎨⎧==83c b 2

12

121212

1212

12252

252

2534⎩⎨

⎧=+=0,35b k b ⎪⎩⎪⎨⎧==5

35-b k

y = - x +5,

过E 点作EF ∥CD ，交抛物线于点P 1，则S △CED ＝，

如解图，设直线EF 的解析式为y = -x +m , 将E (-2，0)代入得：m = -

, ∴直线EF 的解析式为y = -

x -,第1题解图 将y = -

x -与y = -x 2+3x +8联立成方程组得： , 解得（与E 点重合，舍去）, ,

∴P 1(

,- ); 过点E 作EG ⊥CD ，垂足为G ， ∵当t =5时，S △ECD =

CD ·EG =,CD =,

∴EG =

, 过点D 作DN ⊥CD ,垂足为N ，且使DN =

,过点N 作NM ⊥x 轴，垂足为M ，可得△EGD ∽△DMN ,

3

5

S D

C P 1∆3

5

3

10353

10

353102

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧8+3+21 -=3

10 - 35-=2x x y x y ⎩⎨⎧==0-211y x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==9200-3

3422y x 3349

2002

1225

3434

34

2534

34

25