第三章 应力分析

若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F8 ( 1l1 ) ( 2l2 ) ( 3l3 ) ( 1 2 3 ) (3 21) 3
八面体面素上的正应力为
2 2 2 8 1l12 2l2 3 l3 1 ( 1 2 3 ) m (3 22) 3
(3 - 3)
( 3 - 7)
2 2 l12 + l 2 + l 3 = 1,即l i l i = 1.
应有
ij ij 0,
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(3 8)
或即
(3 8)
将这个行列式展开得到
说明： 材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与 应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是 由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力
学中有重要意义。
二、主应力和应力不变量
1. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力
力 若某一斜面上
N 称为该点一个主应力
N 0 ，则该斜面上的正应
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
13 11 12 13 m 0 0 11 m 12 0 0 21 22 m 23 m 21 22 23 31 32 33 0 0 m 31 32 33 m
用张量符号表示： 其中：
ij m ij sij ,
(3 5)
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
1,当i j, ij 0,当i j,
(3 6)
或
应力球张量
——与单元体的体积变形有关
ij ——单位球张量 m ij ——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力
而没有剪应力的状态。
应力偏张量
m m ij 0 0
0
m
0
0 0 m
S ij ——应力偏张量 12 13 11 m S ij 21 22 m 23 31 32 33 m
(3 10) (3 11) (3 12)
应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。 不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 （称为主偏应力）为：
s j j m , ( j 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量：
(3 13)
J1 s1 s2 s3 1 2 3 3 M 0 J 2 ( s1s2 s2 s3 s3 s1 ) J 3 s1s2 s3 1 2 2 2 ( s1 s2 s3 ) 2
2.Lode应力参数
[分析]
由图3-4可见，若在已知应力状态上 叠加一个静水压力，其效果仅使三 个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离 ，该距离等于所叠加的静水应力， 并不改变Mohr圆的大小。 [结论]
2.等效应力 的特点
与空间坐标轴的选取无关；
J2
意义下衡量的
各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力
状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；

j ( j 1,2,3)全反号时 的数值不变。
3. S ij 空间
S ij 空间指的是以 S ij 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；
3
四、等效应力 1.定义： 如果假定 J 2 相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义：
3J 2
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
(3 24)
—— 在塑性力学中称为应力强度或等效应力
注意：这里的“强度”或“等效”都是在
三点中的任意两点为直径端点， 可作出三个Mohr圆，如图3-3. 其半径为：
P P2 1 2 1 3, 2 2 P2 P3 2 3 1, 2 2 P3 P 1 3 1 2. 2 2

O P3
M P2
P 1
3
2

1
图 3-3
1、 2、 3 ——称为主剪应力 max ——最大剪应力
J1 kk , 1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
当用主应力来表示不变量时
(3 10) (3 11) (3 12)
可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力 1、 2、 3
J1 1 2 3 , J 2 ( 1 2 2 3 3 1 ), J 3 1 2 3
八面体面素上的剪应力为
8 F8 82 1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 . 3
2
8
说明：
2 3
J2 .
(3 23)
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
i)垂直于八面体面的分量，即正应力 8 m ，它与应力球张 量有关，或者说与 J1 有关； ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 8 2 J 2 ，与应力 偏张量的第二不变量 J 2 有关。
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
O
SN
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于

j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 1.静水“压力”： = 22 = 33 =
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应 力）状态的距离或差别的大小。
联系到（3-17）式， J 2

1 sij sij 2
不难看出 代表 S ij 空间的中的广义距离
4. 等效剪应力
1 0, 2 0, 3 0,
J2
J2 2 或 联系到（3-19）式，可知
也可以定义 ,剪应力强度或等效剪应力:
J2
1 6
1 2 2 2 3 2 3 1 2
5. 八面体剪应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算 关系为：
2 2 2 J 2 , 3 3 3 3 8 3 3J 2 , 2 1 3 8 J2 2 3
；
（2）应力主向
所在的平面 —— 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
主应力
根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 ，则它在各 坐标轴上的投影为 S Ni = li 代入（3-3）式
S Ni = ij l j
( ij - ij )l j = 0.
3 J12 J 2 J 3 0,
其中 J , 1 kk
(3 9)
(3 10) (3 11) (3 12)
1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
2. 应力张量的不变量
当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 ij均将改变,但主应力的 大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 J 1、J 2、J 3 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。
8
(3 26)
说明：
这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（ 在
J
' 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力 2
状态的“强度”作出定量的描述和比较。
五、三向Mohr圆和Lode应力参数 1.三向Mohr圆
在 平面上 P (1,0), P2 ( 2 ,0), P3 ( 3 ,0) 1
xz xy y yx y yz x zx zy z
yx
zx
zy
yz
(2) 应力张量
定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。
x xy xz xx xy xz xy y yz 或 xy yy yz z yz z xz yz zz
(3 14) (3 15) (3 16)
其中应力偏张量的第二不变量 J 2 今后用得最多。 再介绍它的其他几个表达式：
2 2 2 2 2 2 2 J 2 1 ( s11 s22 s33 2 s12 2 s23 2 s31)
1 sij sij , 2
(3 17)
第三章 应力和应变
§3.1 应力分析 §3.2 应变分析
§3.1 应力分析
一、应力张量及其分解
(1) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
z
y , yx , yz
z , zx , zy
三、等斜面上的应力
等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 设在这一点取 x1 , x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 l2 l3 1 / 3
八面体面：
(3 20)
2
1
满足（3-20）式的面共有八个，构成 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ], (3 18) 6 1 2 2 J 2 [ 12 2 3 1 2 2 3 3 1 ] (3 19) 3
说明： 在第四章中将看到， 2 在屈服条件中起重要作用。至于 J 3 可以注 J 意它有这样的特点：不管 sij 的分量多么大，只要有一个主偏应力 为零，就有 J 3 0 。这暗示 J 3 在屈服条件中不可能起决定作用。
(3 2)
(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系
在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。 N是单位向量，其方向余弦为 l1 , l 2 , l 3 ,
则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 ij 之间的关系 x3 s N 1 11 12 13 l1 S N 2 21 22 23 l 2 N S l 3 N 3 31 32 33 采用张量下标记号，可简写成
写法： 采用张量下标记号的应力写法 把坐标轴x、y、z分别 用x1、x2、x3表示， 或简记为xj (j=1,2,3),
(3 1)
上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法
11 12 13 22 23 ij ji , 21 31 32 33