3 非周期信号讲解

如果延时 t0 . δ( t- t0) f(t) 只有在 t = t0 处才不等于 “0”



(t t 0 ) f (t )dt (t t 0 ) f (t 0 )dt f (t 0 )


这个性质称为筛选性质，常用来对连续信号进行离散采样。 【例】 当脉冲函数为δ( t± t0) 时，如果与一个连续信号卷积：
1 G ( f ) 其变换为： TS 1 ( f nf ) s TS n
N


( f
n ) TS
第一章 信号及其描述
㈣ 白噪声信号（white noise）
第一章 信号及其描述
作业：1-3.
1-5.
1-7.
1-8
⒈ 频域描述非周期信号的基本数学工具是什么？
㈡
瞬态信号
除准周期信号以外的非周期信号都称为瞬态信号。 ①热源消除后的物体温度变化 ②受拉钢丝绳断裂时绳中的应力 ③敲击时的加速度信号…等
第一章 信号及其描述
㈢ 非周期信号的富氏变换
变换的概念
由复数形式的富氏级数可知：
x( t )
n
c


n
e
jn 0 t
1 cn T

T /2
T / 2
⑵ 频移特性
则
无频移
频移f0
频移2f0
第一章 信号及其描述
结论： 假定频率函数x（f）是实数，频率左右位移后迭加， 再折半。
分析：
① 时间函数 x(t) 与一个余弦函数相乘，这个余弦 函数的频率等于频率的位移量 f0 并称该过程为调 制。 ② 时域一个信号被余弦（或正弦）函数数调制以 后，在频域中就按调制频率 f0 向两边分别进行频移。
1 ( 2



x(t )e jn 0t dt )e jn 0t
因为 1/T=ω0/2π当 T→∞，ω0=△ω→dω，nω0→ω
x(t )
因此：





x(t )e jt dt )e jt d
① 离散谱就变成了连续谱。 ② 求和运算则可用积分运算代替。
1 x ( ) 2
x(t )e jn 0t dt
1 x(t ) n T

T /2
T / 2
x(t )e jn 0t dt e jn 0t
周期信号中，相邻频率间隔为：
0
2 T

周期信号就变为非周期信号了。
第一章 信号及其描述
x(t )



( 0 2
jnt c e n 比较, cn即
x( )d cn
⑤ 故 x(ω)=Cn/dω 从物理概念来看： x(ω) 相当于复系数 Cn和无限
小的 频率区间长度之比. 因此,称 x(ω) 为 x(t) 的 复数频谱密度函数，简称 频谱密度函数。 而对应的│x(ω)│和φ(ω)分别称为：幅值谱密度 和 相位谱密度。
y(t ) A cos( 2f 0t ) y( f )
A / 2 ( f f 0 ) A / 2 ( f f 0 )
根据线性迭加原理可得：
x(t ) y(t ) B A cos(2f 0 t ) x( f ) y( f ) B ( f ) A / 2 ( f f 0 ) A / 2 ( f f 0 )
第一章 信号及其描述
② 若：x(t) 为实的奇函数，则其富氏变换 x(f) 为：
I m x( f ) 2 x(t ) sin 2ftdt
0

Re x( f ) 0
故：x(f)是 f 的虚奇函数。即 Im x(f) =
－Imx(－f)
熟悉了解这些性质有助于估计富氏变换对的相应图形性质，减少 不必要的计算。 ⒉ 线性迭加性 如果，时域信号 x(t) 和 y(t) 的富氏变换分别有：


j 2ft0



x( S )e j 2fs dS e j 2ft0 x( f )
所以就有
② 由于时间位移而引起了相角Φ (f)的变化,即:
第一章 信号及其描述
没有时移时：xcosωt
时移450
时移900
时移1800
分析:
时移时,并不改变富氏变换频域的幅值大小.
第一章 信号及其描述
x((t ) (t t 0 )
(t t 0 ) x( )d

x(t t 0 )

其结果是： 将 x(t) 发生脉冲函数的坐标位置上重新构图。
第一章 信号及其描述
㈢ 周期单位脉冲函数序列的频谱（comb梳状函数）
其富氏级数的复数形式为：
g( t )
δ(t) 的筛选性质： 当δ(t) 乘 f(t) 在 t = 0 点的连续信号 → 积只在 t = 0 处得到 f(0)δ(t),其 余各点 (t≠0) 的积均为 “0”.
第一章 信号及其描述
即：



(t ) f (t )dt (t ) f (0)dt f (0) (t )dt f (0)
令：



x (t )e jt dt
FT
x(t )


x( )e jt d
IFT
如果用 f 代替 ω，因为它们之间有x(t)=2πx(f)的关系,式中将不出现 1/2π。
第一章 信号及其描述`
函数 x(t) 与 x(ω) 称为富氏变换偶对
㈣ 非周期信号的频谱
① 频谱函数-----富氏变换将一个时域函数变换为频域的函数，故
则：(K>0)
【例】
正常
慢录快放
快录慢放
第一章 信号及其描述
⒌
⑴
时移和频移特性
时移特性
O
① 将时域信号沿时间轴平移一个常数±t0 ， x(f)乘上一个e±j2πft 因子
令
S t t0

e


x(t t 0 )e
j 2ft
dt x( s)e j 2f ( S t0 ) dS
分析： ① 图中用斜线标明该函数所对应的是三角形。 ② 该函数的积分便是这个三角形的面积。
第一章 信号及其描述
② 时域和频域的卷积
通过以上图解法可看出卷积的计算十分复杂，而利用卷积定 理我们可以方便地用简单频域的乘积来代替时域的卷积，反之可 用时域的乘积代替频域的卷积。
时域
频域 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重 要的地位。特别是关于信号的时间域与频率变换域分析，它是沟通 时域－频域的一个桥梁。
cn 1 Ts
n
c

n
e j 2f s nt
1 TS

TS / 2
TS / 2
g ( t )e j 2f s nt dt
所以：
1 g( t ) Ts
n
e

j 2nf s t
x( f f 0 ) x( t )e j 2f0 t
e j2 nf st (f nf s )
第一章 信号及其描述
㈥ 富氏变换的若干性质
⒈ 奇、偶、虚、实特性
偶函数----- 如果函数 y = f(x) 在定义域内任意一自变量 f(－x) = f(x)， 则 y = f(x) 称为偶函数。 奇函数----- y=f(x) 在定义域内任意一个自变量 x 都有 f(－x)=- f(x) 则 y=f(x) 叫奇函数。
称 x（ω）为 x（t）频谱函数。
② 幅频谱(特性) -----频谱函数的模│x(ω)│称为幅频谱 (简称频谱)。
③ 相频谱（特性）
第一章 信号及其描述
㈤ 频谱密度函数
由 IFT 式 ① 信号 x(t) 是由圆频率为 ω 的正弦分量 ejωt 通过连续迭加得到的. ② 其中在 [－∞,∞] 之间变化. ③ 且每一种频率成分 ejωt 在迭加过程中都乘上了一个 x(ω)dω 量. ④ x( )d与周期信号x(t )

x(t ) cos 2ftdt
I m x( f )


x(t ) sin 2ftdt
①
若：x(t) 为实的偶函数，则其富氏变换 x(f) 为：
Re x( f ) 2 x(t ) cos 2ftdt
0

I m x( f ) 0
故：x(f) 是 f 的偶函数又是实函数。即 Rex(f) = x(－f)
sin ② 并定义 它以 2π w 为周期并随 θ ↑ 幅值 w(f) 振荡衰减 ↓ (f ) T sin c( fT )为： sin c ③ sincθ 的函数值可通过专门数学表查得。
第一章 信号及其描述
分析： ① 窗函数可作为时域中对其信号的截断。 ② 所得信号的频谱将是原信号频域函数与sinc函数的卷积 即： ③ 频谱是连续的，频率无限延伸。 特点： a）具有主瓣、旁瓣。 b）主瓣宽度为 2/T 与时域窗 T 成反比， 即：当时域中 T↑
性质： 偶函数； 闸门(或抽样)函数； 滤波函数； 内插函数。
截取信号越长 T → 主瓣宽度 2/T↓
第一章 信号及其描述
㈡ 单位脉冲函数及其频谱和筛选性质
当ε→0时，δp(t)的极限值



p ( t )dt
lim
0



p ( t )dt
1
δ(t) 就称为单位脉冲函数。
第一章 信号及其描述
⒊ 对称或对偶定理
当 则有： 实际意义：
如果 x(f)是信号x(t)的谱,则 x(±t) 的谱就是x ( f)而 x(±f)的时间信 号就是 X( t)。 即：利用已知的富氏变换对，即可得出相应的变换对。 【例】
± ±
第一章 信号及其描述
⒋ 时间尺度改变特性
在信号幅值不变的条件下。若：
2）
可视为基本周期无限长，所以，对应的时间历程将是具有
“准周期”的特性，不满足 x(t)=x(t±nT)
3)
n=1.2.…的原则。
准周期信号是一种非周期信号，表达式可写成：
第一章 信号及其描述
分析： 在忽略φn的情况下，可象处理复杂周期信号一样，用离散谱来 表示，只是各分量的频率不再是有理数的关系，这就是准周期信号的 特性。

可改写为 代入w(f)式
1 ( e jt e jt ) 2 1 sin( fT ) ( e jfT e jfT ) 2j sin t j
w( f ) T sin fT T sin c( fT ) (T为窗宽) fT
第一章 信号及其描述
频谱图
特点 ① 该函数是偶函数，在nπ 为(n=±1,±2…)处其值为“0”且只有实 部。 幅值 相位 视其符号而定： A）当 sinc（πf T）为正值时相角为“ 0 ” B）当 sinc（πf T）为负值时相角为“π”
第一章 信号及其描述
二、非周期信号与连续谱
两个或几个无关的周期信号混迭在一起时，即：ωn/ ωm ≠有理数， 就会产生准周期信号。 ㈠ 【例】 准周期信号
x(t ) x1 sin( 3t 1 ) x2 sin( 5t 2 ) x3 sin( 72t 3 )
1) 可以看出3/ 72和5/ 72不是有理数.
第一章 信号及其描述
三、几种典型信号的频谱
㈠ 矩形窗函数的频谱
1 w( t ) 0 t T / 2 t T / 2
其频谱
w( f )



w( t )e
j 2ft
dt

源自文库
T / 2
T / 2
e j 2ft dt
1 ( e jfT e jfT ) j 2f
第一章 信号及其描述
⒍ 卷积 6. 信号的卷积（卷积定理） ： 两个函数的卷积 x1(t)*x2(t)=y(t) 定义为：
①
卷积的含义
函数x(t)和h(t)和卷积过程
要计算卷积值首先要给出函数 x(τ) 和 h(t-τ)
实现上一步后,下一步进行相乘并积分.过程如下:
第一章 信号及其描述
t1 2t1 3t1 4t1 5t1
x( t ) x(f )
IFT
FT
y (t ) y ( f )
IFT
FT
则：a x(t)+b y(t)=a x(f)+b y(f)
[其中 a, b 为任意常数]
其含义为：几个信号的富氏变换 = 各个信号富氏变换之和。
第一章 信号及其描述
【例】
x(t ) B x( f ) B ( f )
实函数----- 有理数和无理数的统称。
虚数----设复数 Z=a+bi.当 b≠0 时.z 就叫虚数.a=0,b≠0 时 z 叫纯虚数。
第一章 信号及其描述
作用与定义：
x( f )



x(t )e j 2ft dt Re x( f ) jI m x( f )

Re x( f )