三重积分习题
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1 化三重积分⎰⎰⎰Ω
=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分
其中积分区域分别
是
(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
{(x
y
z )| 0
z xy 0y 1x 0x 1}
于是 ⎰⎰⎰-=xy x dz
z y x f dy dx I 0
10
10
),,(
(2)由曲面z
x 2y 2及平面z 1所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x
于是 ⎰⎰
⎰+----=1
111
12
2
22
),,(y x x x
dz z y x f dy dx I
(3)由曲面z x 22y 2及z 2x 2所围成的闭区域
解 曲积分区域可表示为
}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x
于是 ⎰⎰
⎰-+----=2
2
2
22
22111
1),,(x y x x x dz z y x f dy dx I
提示 曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为
x 2+y 2=1
(4)由曲面cz xy (c 0) 1
2222=+b
y a x z 0所围成的在第一卦限内的闭
区域
解 曲积分区域可表示为 }0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a
b y
c xy
z z y x ≤≤-≤≤≤
≤=Ω
于是 ⎰
⎰
⎰-=c xy x a a b a
dz z y x f dy dx I 0
00
),,(2
2
提示 区域的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为平面z 0
2 设有一物体 占有空间闭区域{(x
y
z )|0
x 1
y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为(x y z )x y z
计算该物体的质量
解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω
1
01
01
0)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1
01
0)21(dy y x dx
⎰⎰+=++=1
010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23
)1(2
1102=+=x
3
如果三重积分⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x
y z )是三个函数
f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积 即f (x y z ) f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域
{(x
y
z )|a
x b c y d l z m } 证明这个三重积分
等于三个单积分的乘积 即
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω
m
l
d
c
b
a
dz
z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321
证明 ⎰⎰⎰Ω
dxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b
a d
c
m
l
]))()()(([321⎰⎰⎰=
dx dy dz z f y f x f b a d c m l
]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m l
d
c
b a
dx dy y f dz z f x f )])()()()([(231
dx x f dy y f dz z f b
a
m l
d c
)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d c
b
a
m l
dx x f dy y f dz z f )())()()((123
⎰⎰⎰=d c
m
l
b a
dz
z f dy y f dx x f )()()(321
4 计算⎰⎰⎰Ω
dxdydz
z xy 32 其中是由曲面z xy 与平面y x x 1
和z
0所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
{(x
y z )| 0
z xy 0y x 0x 1}
于是 ⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 3
2⎰
⎰⎰=xy
x
dz z dy y xdx 0
3
02
1
0⎰⎰=x
xy
dy z y xdx 0042
10]4[
⎰⎰=x dy y dx x 0510541364
1
2811
012==⎰dx x
5 计算
⎰⎰⎰Ω
+++3)1(z y x dxdydz 其中
为平面x
y
0 z
x y z 1所围成的四面体 解 积分区域可表示为
{(x
y
z )| 0
z 1x y 0y 1x 0x 1}
于是 ⎰⎰⎰Ω
+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰
⎰--++=x
dy y x dx 10
21
]8
1)1(21[
dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )8
52(ln 21
-=
提示
⎰⎰⎰
Ω
+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰
⎰---+++-=x
y
x dy z y x dx 10
102
1
])1(21[
⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x
-⎰-++-=101
]8
1)1(21[
dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[