一般周期函数的判定方法

一般周期函数的判定方法

周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。

1、周期函数的定义及性质

定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；

（1）对有（X±T）；

（2）对有f（X+T）=f（X）

则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。

由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。

2、性质：

（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。

因而周期函数必定有正周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……

=f（x+T）= f(X)。

当n＜0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：

nT=-（-nT）是f(X)的周期。∴当n为任意非零整数时命题成立。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。

（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对（f(X)的定义域）有f(X)=f （x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。∴T必是T*的正整数倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）证：据条件和性质4知，存在K1、K2 Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴。

（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。

（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。

例2：f(X)=sinX（≤10π）不是周期函数。

3、周期函数的判定

定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

证：∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T*且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)=f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

（先证是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X±）证：

+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期

假设存在T’（0＜T’＜）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证：设T是u=g(x)的周期，则1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

例 3 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，

（4）f(n)=Log2Sinx(sinx 同理可得：

＞0)也都是周期函数。

例4，f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

例5，f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos

（k∈Z）

与定义中T是与X无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数。

由例4、例5说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。

定理4：设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

证：设（(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X)∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。

推论：设f1(X) 、f2(X)……fn(X)是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn 分别是它们的周期，若，…（或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n 个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例6 ，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。

例7，讨论f(X)= 的周期性

解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。