函数及其表示

函数及其表示

[考纲传真]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．

【知识通关】

1．函数与映射的概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法：

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[常用结论]

简单函数定义域的类型

(1)f (x )为分式型函数时，分式分母不为零； (2)f (x )为偶次根式型函数时，被开方式非负；

(3)f (x )为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为1； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；

(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为xx ≠k π＋π

2

，k ∈Z .

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )

(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (3)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．函数y ＝2x －3＋1

x －3

的定义域为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫

32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫

32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)

C

3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

B

4．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝3

x 3与g (x )＝x 2 B ．f (x )＝|x |与g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1

x －1

与g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x 0与g (x )＝1

x 0

D

5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x (x ＋4)，x ≥0，

x (x －4)，x ＜0，则f (1)＝________；若f (a )＝5，则a ＝

________. 5 ±1

【题型突破】

函数的定义域

【例1】 (1)在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x

D ．y ＝

1x

(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)

x －1

的定义域是( ) A ．[－1,2 017] B ．[－1,1)∪(1,2 017] C ．[0,2 018] D ．[－1,1)∪(1,2 018]

(1)D (2)B

[方法总结] (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍.

(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.

(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.

(1)函数f (x )＝3x 1－x

＋lg(3x ＋1)的定义域是( )

A .⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13，1 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13，＋∞ C .⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13，13 D .⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．

(1)A (2)

⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2

求函数的解析式

【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1

x 2，求f (x )的解析式；

(2)已知f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；

(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．

[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2

－2，令t ＝x ＋1x ，当x ＞0时，t ≥2

x ·1

x

＝2，当且仅当x ＝1时取等号；

当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，

∴f (t )＝t 2－2，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述，f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2

t －1，

∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2

x －1

(x ＞1)．

(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩

⎨⎧

2a ＝1，

a ＋

b ＝－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝12，

b ＝－3

2

，

∴f (x )＝12x 2－3

2x ＋2.

(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ＝x ，

∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ＋2f (x )＝1x .