二次方程根的分布与二次函数的最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值

1、一元二次方程02

=++c bx ax 根的分布情况

设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为

()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下

面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分

布情况

两个负根即两根都小于0

()120,0x x << 两个正根即两根都大于0

()120,0x x >>

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<

大致图象（

>a ）

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()00

大

致图象（

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f

分

布情况

两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即

k x k x >>21,

一个根小于k ，一个大于

k 即

21x k x <<

大致图象（

>a ）

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()0

大

致图象（

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f

综

合结论（不讨论

a

）

()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0

20

b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a

k

k

k

分

布情况两根都在()n

m,内

两根有且仅有一根在()n

m,内

（图象有两种情况，只画了一种）

一根在()n

m,内，另一根在()q

p,

内，q

p

n

m<

<

<

大致图象（

0 > a

）

得出的结论

()

()

2

f m

f n

b

m n

a

∆>

⎧

⎪

>

⎪

⎪

>

⎨

⎪

⎪<-<

⎪⎩

()()0<

⋅n

f

m

f

()

()

()

()

f m

f n

f p

f q

⎧>

⎪

<

⎪

⎨

<

⎪

⎪>

⎩

或

()()

()()

f m f n

f p f q

<

⎧⎪

⎨

<

⎪⎩

大

致图象

（

0 < a

）

得

出的结

论

()

()

2

f m

f n

b

m n

a

∆>

⎧

⎪

<

⎪

⎪

<

⎨

⎪

⎪<-<

⎪⎩

()()0<

⋅n

f

m

f

()

()

()

()

f m

f n

f p

f q

⎧<

⎪

>

⎪

⎨

>

⎪

⎪<

⎩

或

()()

()()

f m f n

f p f q

<

⎧⎪

⎨

<

⎪⎩

综合结论

（不讨论a ）——————()()0<

⋅n

f

m

f

()()

()()

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

<

q

f

p

f

n

f

m

f