蛛网模型在市场经济中的应用

楚雄师范学院数学系《数学建模》课程

教学论文

题目：蛛网模型在市场经济中的应用

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蛛网模型在市场经济中的应用

摘要：当今世界，市场竞争日益激烈。在完全自由竞争的市场竞争中，一个时

期某种消费品上市量远大于需求，由于销售不畅价格下降。于是转与其他行业。过一段时将这种消费品上市量就会大减，供不应求价格有上涨，这样下一时期又会出现供大于求，价格下降的局面。这一不可避免的现象。在现实世界里这样的现象会出现在不同的形式，有的振幅减小趋向平稳，有的则振幅越来越大，如果没有外界政府的干预，将导致经济崩溃。

本文利用图形方法建立“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济趋于稳定的条件。再用差分方程对其进行解释。用MATLAB软件迭代的思想对模型稳定点分析。最后对模型进行适当的推广。

关键词：蛛网模型差分方程

一、 模型简介

蛛网模型 ——运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论。

蛛网理论，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型。 蛛网理论是20世纪30年代出现的一种关于动态均衡分析方法。

在新古典经济学中，蛛网模型引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量、供给量和价格之间的相互作用的考察，用动态分析的方法论述生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。蛛网模型考察的是生产周期较长的商品，而且生产规模一旦确定不能中途改变，市场价格的变动只能影响下一周期的产量，而本期的产量则取决于前期的价格。因此，蛛网模型的基本假设是商品本期的产量决定于前期的价格。由于决定本期供给量的前期价格与决定本期需求量（销售量）的本期价格有可能不一致，会导致产量和价格偏离均衡状态，出现产量和价格的波动。

二、 符号说明及模型假设

2.1符号说明

x k ——第k 时段商品数量 y k ——第k 时段商品价格

f K ——f 在P0点斜率的绝对值 f K ——

g 在P0点斜率的绝对值

α——商品供应量减少1个单位的价格的上涨幅度

β——商品价格上涨1个单位时商品供应的增加量 2.2模型假设

1．蛛网模型不受金融危机的影响； 2．农农产品本身生长状况良好

三、 模型建立

3.1蛛网模型

记 x k ~第k 时段商品数量；y k ~第k 时段商品价格，设 （1）

它表示消费者对这种商品的去求关系，称为需求函数。下一时段商品的数量1

+k x )

(k k x f y =)

()(11++==k k k k x g y y h x ，或

由上一时段价格k y 决定，设

（2） 这里g 是h 的反函数，h 或g 反映生产者的供应关系，称供应函数。

上面两个图中，折线 4321,,,p p p p 形似蛛网，所以这种用曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称蛛网模型。实际上，需求曲线f 和供应曲线g 的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。

一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品价格和数量是否趋于稳定。就完全有这两条曲线在平衡点P0附近的形状决定。只要分析一下图1和图2的不同之处就会发现，在P0附近，图1的f 比g 陡峭。记f 在P0点斜率的绝对值为f K ，g 在P0点的斜率的绝对值为g K ，图形的直观告诉我们，当

f K <

g K （3） 时P0点事稳定的。当

f K >

g K （4） P0点事不稳定的。下面给出蛛网模型的另一种表达式——差分方程。

3.2差分方程

在P0点附近可以用直线来近似曲线f 和h ，设（1），（2）分别近似为

0),(00〉--=-ααx x y y k k (5) 0),(001〉-=-+ββy y x x k k (6)

消去k y 可得

(7) 对k 递推不难得到

（8）

P0点稳定的条件是

1<αβ （9）

2y

y 图1 P 0是稳定平衡点

图2 P 0是不稳定平衡点

y 0

)()(0101x x x x k k --=-+αβ )()(0

1

1

x x x x k

k --=-+αβ

P0点稳定的条件是

αβ（10）

1

>

α都是都是有量纲的，他们的大小都应该在同一量纲下比较。

应该指出β

α和的量纲互为倒数，所以αβ是无量纲量。就可以与1比较大小了，同时，β

在上述中我们把它看做r。

差分方程同时还可以用MATLAB求解，其代码如下：

>> clear;

>> x=0.3;

>> r=3.2;

>> for i=1:30

x=r*x*(1-x); y(i)=x;

end

>> x1(1)=0.3; y1(12)=0;

>> for i=1:29

x1(2*i+1)=y(i); x1(2*i)=x1(2*i-1);

y1(2*i)=y(i); y1(2*i+1)=y1(2*i);

end

>> x2=0:0.01:1; y2=x2; y3=r.*x2.*(1-x2);

>> plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'k-',x2,y3,'k-')

如取令αβ=r=3.2，x0=0.3，可得下图：