学高中数学三角函数三角函数线及其应用教师用书教案新人教A版必修

第２课时三角函数线及其应用

学习

目标核心素养

１．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示

一个角的正弦、余弦和正切．（重点）

２．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．（难点）通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养.

１．有向线段

（１）定义：带有方向的线段．

（２）表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.

２．三角函数线

（１）作图：１α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.

２过A（１,0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.

（２）图示：

（３）结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．

思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？

提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．

１．角错误!和角错误!有相同的（）

Ａ．正弦线Ｂ．余弦线

Ｃ．正切线Ｄ．不能确定

C[角错误!和角错误!的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]

２．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（）

Ａ．正弦线OM，正切线A′T′

Ｂ．正弦线OM，正切线A′T′

Ｃ．正弦线MP，正切线AT

Ｄ．正弦线MP，正切线A′T′

C[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]

３．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．

１[若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为（0,１）或（0，—１），所以正弦线长度为１．]

作已知角的三角函数线

【例１】

（１）—错误!；（２）错误!；（３）错误!.

[解] 如图．

其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．

三角函数线的画法

１作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.

２作正切线时，应从A１，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT.

错误!

１．作出—错误!的正弦线、余弦线和正切线．

[解] 如图：

sin错误!＝MP，

cos错误!＝OM，

tan错误!＝AT.

利用三角函数线比较大小

【例２】

Ａ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β

Ｂ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β

Ｃ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β

Ｄ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β

（２）利用三角函数线比较sin错误!和sin错误!，cos错误!和cos错误!，tan错误!和tan错误!的大小．

思路点拨：（１）

（２）

（１）D[由图（１）可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A错误；

图（１）

由图（２）可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；

图（２）

由图（３）可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；

图（３）

由图（４）可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．

]

图（４）

（２）解：如图，sin错误!＝MP，cos错误!＝OM，tan错误!＝AT，sin错误!＝M′P′，cos错误!＝OM′，tan错误!＝AT′.

显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，

∴sin错误!＞sin错误!；

|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos错误!＞cos错误!；

|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan错误!＜tan错误!.

１利用三角函数线比较大小的步骤：

１角的位置要“对号入座”；

２比较三角函数线的长度；

３确定有向线段的正负.

２利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：

１关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,

２注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.

错误!

２．已知a＝sin错误!，b＝cos错误!，c＝tan错误!，则（）

Ａ．a＜b＜cＢ．a＜c＜b

Ｃ．b＜c＜aＤ．b＜a＜c

D[由如图的三角函数线知：

MP＜AT，因为错误!＞错误!＝错误!，

所以MP＞OM，

所以cos错误!＜sin错误!＜tan错误!，

所以b＜a＜c.]

３．设错误!＜α＜错误!，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果错误!＜α＜错误!，上述长度关系又如何？

[解] 如图所示，当错误!＜α＜错误!时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当错误!＜α＜错误!时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.

利用三角函数线解三角不等式

[探究问题]

１．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a，sin α≤a（|a|≤１）的不等式？

提示：对形如sin α≥a，sin α≤a（|a|≤１）的不等式：

图１

画出如图１所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点（0，a）作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a的角α的范围．

２．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a，cos α≤a（|a|≤１）的不等式？

提示：对形如cos α≥a，cos α≤a（|a|≤１）的不等式：

图２

画出如图２所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点（a,0）作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a的角α的范围．

【例３】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．

（１）cos α＞—错误!；（２）tan α≤错误!；（３）|sin α|≤错误!.

思路点拨：

[解] （１）如图，由余弦线知角α的取值范围是

错误!.