有限字长效应
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[ x ]反 0 x 1 x 0. X 1 X 2 X b 1 x 1. X 1 X 2 X b 1 x 0
[ x]补
x 0 x 1 2 x 1 x 0
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示 1.定点制：小数点在数码中的位置固定不变。 如：0.375： （0.011）2
z1 z1 z1 z1
0L 1L 2L 1L 2L
ˆ y[k ]
z1 z1
1 C 2πj i 1
2 v L 2 i
l i 1
H l ( z) H l ( z 1 ) Ai ( z ) Ai ( z 1 )
L
z 来自百度文库1dz
IIR DF并联结构乘积量化误差分析
有限字长效应
系统对系数量化的灵敏度
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作 为对系数量化灵敏度的度量。
量化后极点
ˆ pr pr pr , r 1,, N
pr
k 1
N
pr ak ak
位置误差
第r个极点对第k个系数变化的敏感度 pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。
3）调整阶码
4）截尾或舍入尾数处理
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点制：运算简单快速，只有乘法有舍入或截尾误差
数的动态范围小，可能出现溢出。 浮点制：数的动态范围大，不会溢出 运算速度慢，加法和乘法都有舍入或截尾误差。 3. 分组浮点制
一组数采用一共同的阶码
适用于运算的数较多，数值相近的情况。
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示
量化及量化误差
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示 定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式 若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为 0 x 1 x 0. X 1 X 2 X b [ x]原 1 x 1. X 1 X 2 X b 1 x 0
直接I型结构乘积量化误差分析
e[k]通过系统的平均噪声功率
q2 1 v2 (M N 1) H e ( z ) H e ( z 1 ) z 1dz 12 2πj C
e[k]所通过系统的系统函数 He(z)=1/A(z)
直接II型结构乘积量化误差分析
x[k] z1 b0
ˆ y[k ]
滤波器系数量化效应
FIR系数量化效应 系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
E (e
j
( N 1)q ) ( N 1)2 (b 1) 2
实际中，需要在估计字长的基础上加上3~4位
有限字长效应
数字滤波器的定点运算误差
P{e[k ]}
1q
q 2
e[k ]
0
q 2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
有限字长效应
滤波器输入信号量化效应
信噪比和字长的关系
2 信号x[k]的平均功率为 x
量化误差方差
q2 e2 E e 2 [k ] 12
输入信号的信噪比SNR为
2 x 2 6.02b 10.79 10 log 10( x )dB SNR 10 log 10 2 e
系统对系数量化的灵敏度
D( z ) a k p r D( z ) a k p r
z pr
N l 1 l r
k pr
p r 1 (1 pl p r 1 )
N k pr
( p r pl )
l 1 l r
N
极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低； 极点彼此之间越密集，极点位置灵敏度就越高。 对级联或并联型，每个子系统最多只有两个 共轭极点，故对系数量化影响较小。
字长增加一位，SNR增加6dB
有限字长效应
滤波器系数量化效应
问题的提出 IIR系数量化效应 FIR系数量化效应
有限字长效应
滤波器系数量化效应
问题的提出 设系统只有单极点，理想DF的系统函数可表示为
B( z ) H ( z) A( z )
k 0 N
bk z
k 1
M
k
1 a k z k
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k ] x[k ] Q{ y[k 1]}
设： y[1]=0 b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
有限字长效应
一阶IIR DF输出
y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111 y[1] Q{ y[0]} Q[0.0111 0.100 ]
直接I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接I型结构乘积量化误差分析
联合噪声方差
q2 2 e E e 2 [k ] (M N 1) 12
e[k]
ˆ y[k ]
x[k] z1
b0 b1 b2
a1 a2
z1
z1
z1
z1
bM
aN
z1
直接I型结构乘积量化误差联合噪声源模型
截尾和舍入效应
量化及量化误差 理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
x 0 n 2 n
n 1
符号位
有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示(b+1位)， 这种过程称为量化。
有限字长效应
量化方式
截尾量化
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q 3q 2q q
加法运算：
不会增加字长；但会出现溢出，需修正比例因子。
乘法运算： 不会出现溢出；但会增加字长，需尾数处理。
尾数处理办法：截尾：截尾误差；舍入：舍入误差。
有限字长效应
截尾和舍入效应
2.浮点制：将一个数表示成尾数和指数两部分
x=±2cM
2）调整阶码
0.5≤M<1
乘法运算：1）尾数相乘阶码相加
3）截尾或舍入尾数处理 加法运算：1）对阶使阶码相等 2）尾数相加
有限字长效应
问题的提出
截尾和舍入效应
滤波器输入信号量化效应
滤波器系数量化效应
数字滤波器的定点运算误差
有限字长效应
问题的提出
数字系统，存储单元的容量有限。 有限字长的影响，主要表现在以下三方面： (1) 输入信号经A/D转换而产生的量化误差。 (2) 滤波器的系数量化误差。 (3) 运算误差。
有限字长效应
ˆ ak ak ak ,
N k 1
k 1, N
量化后极点位置
1 a k z k a k z k 0
a k 1 a k
k 1 N
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1
保持稳定性的IIR DF系数的最小字长
a k q 2 (b 1) max{ a k } 2
7 1 k y[k ] ( ) u[k ] 8 2
极限环震荡
无限精度输出
产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
Q[ y[k 1]] y[k 1]
( 0取, 0取)
即系统的差分方程变为
y[k ] x[k ] y[k 1]
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而 产生等幅序列形式的极限环震荡。
y[2] Q{ y[1]} Q[0.010] 0.010 y[3] Q{ y[2]} Q[0.001 0.001 ]
y[4] Q{ y[3]} Q[0.0001 0.001 1 8 ]
7 4 2 1 1 1 ˆ y[k ] { , , , , , , } 8 8 8 8 8 8
ˆ x[k ] x[k ] e[k ]
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择 合适的字长，以满足信噪比指标。
有限字长效应
滤波器输入信号量化效应
e[k]统计假设 (1) e[k]是平稳随机序列。
(2) e[k] 是白噪声，且e[k1]和e[k2]不相关 。
(3) e[k]和x[k]不相关。 (4) e[k]等概率分布。
aN
z1 bM
直接II型结构乘积量化误差联合噪声源模型
ea[k]和eb[k]通过系 2 2b 2 v N 统的输出噪声方差 12
k 0
2 2b h[k ] (M 1) 12
2
IIR DF级联结构乘积量化误差分析
e1[k] x[k] z1 z1 eL[k]
01 11 21 11 21
k 0 N
bk z k
M
(1 p r z 1 )
r 1
因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差 1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。
有限字长效应
滤波器系数量化效应
IIR系数量化效应 {ak}量化后的值
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
x
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
x
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] 0 n 2 n
n1 b
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差
截尾误差
ET Q[ x] x q ET 0 0 ET q
有限字长效应
直接I型结构乘积量化误差分析
单个噪声源方差
x[k] z1 b1 z1 b2 b0
q2 2 0 E ei2 [k ] 12
ˆ y[k ]
e0[k]
a1
z1
e1[k]
eM+1[k]
z1
a2
z1 bM
e2[k]
eM+2[k]
aN
z1
eM[k]
eM+N[k]
n
n
x[k]的最大绝对值
y[k ] max xmax h[n]
n
xmax h[n] 超出了表示范围，就会产生溢出。
避免溢出的方法: 1. 适当增加字长。 2. 将输入信号乘以小于1的比例因子A，使下式成立
Axmax h[n] 1
消除极限环震荡的方法
1. 适当地增加字长
2 (b 1) y[ k 1] 1
死区
在一定时，增加字长b，死区也减小。
2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出 死区，回到零。
数字滤波器的定点运算误差
IIR DF乘积量化误差的统计分析 乘积的舍入用噪声源e[k]表示，对其做如下假设： (1) 各噪声源均为白噪声序列。 (2) 各噪声源统计独立，互不相关。 (3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为 等概率密度分布。
IIR DF的极限环振荡
IIR DF乘积量化误差的统计分析
FIR DF中乘积量化的影响 溢出问题
有限字长效应
数字滤波器的定点运算误差
IIR DF的极限环振荡 由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不 变的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
分析：
y[k ] y[k 1] x[k ]
e1[k]
01
z1 z1
11 21
11 21
ˆ y[k ]
x[k]
0L
z1 z1
eL[k]
1L 2L
1L 2L
z1 z1
2 v
i 1
L
2 ei
hi [k ]
2
数字滤波器的定点运算误差
FIR DF中乘积量化的影响
x[k] z1
h[0]
z1
h[1]
q 2b
正数和补码负数截尾误差范围为
原码负数和反码负数截尾误差范围为
舍入误差范围
q 2 ER q 2
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
滤波器输入信号量化效应
问题的提出
量化误差统计假设
信噪比和字长的关系
有限字长效应
滤波器输入信号量化效应
问题的提出
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
a1
z1
b1
e0[k]
eM+1[k]
a2
b2
e1[k]
eM+2[k]
aN
z1 bM
e2[k]
eM+N[k]
eM[k]
直接II型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接II型结构乘积量化误差分析
ea[k] b0 eb[k]
x[k]
ˆ y[k ]
a1 a2
z1 b 1 z1 b2
z1
h[2] h[N1]
y[k] e0 e1 e2 eN1
乘积量化噪声的输出平均功率
q2 2 q2 2 v ( N 1) d [k ] ( N 1) 12 k 0 12
有限字长效应
数字滤波器的定点运算误差
溢出问题 产生原因： y[k ] h[n]x[k n]
[ x]补
x 0 x 1 2 x 1 x 0
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示 1.定点制：小数点在数码中的位置固定不变。 如：0.375： （0.011）2
z1 z1 z1 z1
0L 1L 2L 1L 2L
ˆ y[k ]
z1 z1
1 C 2πj i 1
2 v L 2 i
l i 1
H l ( z) H l ( z 1 ) Ai ( z ) Ai ( z 1 )
L
z 来自百度文库1dz
IIR DF并联结构乘积量化误差分析
有限字长效应
系统对系数量化的灵敏度
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作 为对系数量化灵敏度的度量。
量化后极点
ˆ pr pr pr , r 1,, N
pr
k 1
N
pr ak ak
位置误差
第r个极点对第k个系数变化的敏感度 pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。
3）调整阶码
4）截尾或舍入尾数处理
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点制：运算简单快速，只有乘法有舍入或截尾误差
数的动态范围小，可能出现溢出。 浮点制：数的动态范围大，不会溢出 运算速度慢，加法和乘法都有舍入或截尾误差。 3. 分组浮点制
一组数采用一共同的阶码
适用于运算的数较多，数值相近的情况。
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示
量化及量化误差
有限字长效应
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示 定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式 若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为 0 x 1 x 0. X 1 X 2 X b [ x]原 1 x 1. X 1 X 2 X b 1 x 0
直接I型结构乘积量化误差分析
e[k]通过系统的平均噪声功率
q2 1 v2 (M N 1) H e ( z ) H e ( z 1 ) z 1dz 12 2πj C
e[k]所通过系统的系统函数 He(z)=1/A(z)
直接II型结构乘积量化误差分析
x[k] z1 b0
ˆ y[k ]
滤波器系数量化效应
FIR系数量化效应 系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
E (e
j
( N 1)q ) ( N 1)2 (b 1) 2
实际中，需要在估计字长的基础上加上3~4位
有限字长效应
数字滤波器的定点运算误差
P{e[k ]}
1q
q 2
e[k ]
0
q 2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
有限字长效应
滤波器输入信号量化效应
信噪比和字长的关系
2 信号x[k]的平均功率为 x
量化误差方差
q2 e2 E e 2 [k ] 12
输入信号的信噪比SNR为
2 x 2 6.02b 10.79 10 log 10( x )dB SNR 10 log 10 2 e
系统对系数量化的灵敏度
D( z ) a k p r D( z ) a k p r
z pr
N l 1 l r
k pr
p r 1 (1 pl p r 1 )
N k pr
( p r pl )
l 1 l r
N
极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低； 极点彼此之间越密集，极点位置灵敏度就越高。 对级联或并联型，每个子系统最多只有两个 共轭极点，故对系数量化影响较小。
字长增加一位，SNR增加6dB
有限字长效应
滤波器系数量化效应
问题的提出 IIR系数量化效应 FIR系数量化效应
有限字长效应
滤波器系数量化效应
问题的提出 设系统只有单极点，理想DF的系统函数可表示为
B( z ) H ( z) A( z )
k 0 N
bk z
k 1
M
k
1 a k z k
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k ] x[k ] Q{ y[k 1]}
设： y[1]=0 b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
有限字长效应
一阶IIR DF输出
y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111 y[1] Q{ y[0]} Q[0.0111 0.100 ]
直接I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接I型结构乘积量化误差分析
联合噪声方差
q2 2 e E e 2 [k ] (M N 1) 12
e[k]
ˆ y[k ]
x[k] z1
b0 b1 b2
a1 a2
z1
z1
z1
z1
bM
aN
z1
直接I型结构乘积量化误差联合噪声源模型
截尾和舍入效应
量化及量化误差 理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
x 0 n 2 n
n 1
符号位
有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示(b+1位)， 这种过程称为量化。
有限字长效应
量化方式
截尾量化
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q 3q 2q q
加法运算：
不会增加字长；但会出现溢出，需修正比例因子。
乘法运算： 不会出现溢出；但会增加字长，需尾数处理。
尾数处理办法：截尾：截尾误差；舍入：舍入误差。
有限字长效应
截尾和舍入效应
2.浮点制：将一个数表示成尾数和指数两部分
x=±2cM
2）调整阶码
0.5≤M<1
乘法运算：1）尾数相乘阶码相加
3）截尾或舍入尾数处理 加法运算：1）对阶使阶码相等 2）尾数相加
有限字长效应
问题的提出
截尾和舍入效应
滤波器输入信号量化效应
滤波器系数量化效应
数字滤波器的定点运算误差
有限字长效应
问题的提出
数字系统，存储单元的容量有限。 有限字长的影响，主要表现在以下三方面： (1) 输入信号经A/D转换而产生的量化误差。 (2) 滤波器的系数量化误差。 (3) 运算误差。
有限字长效应
ˆ ak ak ak ,
N k 1
k 1, N
量化后极点位置
1 a k z k a k z k 0
a k 1 a k
k 1 N
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1
保持稳定性的IIR DF系数的最小字长
a k q 2 (b 1) max{ a k } 2
7 1 k y[k ] ( ) u[k ] 8 2
极限环震荡
无限精度输出
产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
Q[ y[k 1]] y[k 1]
( 0取, 0取)
即系统的差分方程变为
y[k ] x[k ] y[k 1]
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而 产生等幅序列形式的极限环震荡。
y[2] Q{ y[1]} Q[0.010] 0.010 y[3] Q{ y[2]} Q[0.001 0.001 ]
y[4] Q{ y[3]} Q[0.0001 0.001 1 8 ]
7 4 2 1 1 1 ˆ y[k ] { , , , , , , } 8 8 8 8 8 8
ˆ x[k ] x[k ] e[k ]
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择 合适的字长，以满足信噪比指标。
有限字长效应
滤波器输入信号量化效应
e[k]统计假设 (1) e[k]是平稳随机序列。
(2) e[k] 是白噪声，且e[k1]和e[k2]不相关 。
(3) e[k]和x[k]不相关。 (4) e[k]等概率分布。
aN
z1 bM
直接II型结构乘积量化误差联合噪声源模型
ea[k]和eb[k]通过系 2 2b 2 v N 统的输出噪声方差 12
k 0
2 2b h[k ] (M 1) 12
2
IIR DF级联结构乘积量化误差分析
e1[k] x[k] z1 z1 eL[k]
01 11 21 11 21
k 0 N
bk z k
M
(1 p r z 1 )
r 1
因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差 1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。
有限字长效应
滤波器系数量化效应
IIR系数量化效应 {ak}量化后的值
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
x
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
x
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] 0 n 2 n
n1 b
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差
截尾误差
ET Q[ x] x q ET 0 0 ET q
有限字长效应
直接I型结构乘积量化误差分析
单个噪声源方差
x[k] z1 b1 z1 b2 b0
q2 2 0 E ei2 [k ] 12
ˆ y[k ]
e0[k]
a1
z1
e1[k]
eM+1[k]
z1
a2
z1 bM
e2[k]
eM+2[k]
aN
z1
eM[k]
eM+N[k]
n
n
x[k]的最大绝对值
y[k ] max xmax h[n]
n
xmax h[n] 超出了表示范围，就会产生溢出。
避免溢出的方法: 1. 适当增加字长。 2. 将输入信号乘以小于1的比例因子A，使下式成立
Axmax h[n] 1
消除极限环震荡的方法
1. 适当地增加字长
2 (b 1) y[ k 1] 1
死区
在一定时，增加字长b，死区也减小。
2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出 死区，回到零。
数字滤波器的定点运算误差
IIR DF乘积量化误差的统计分析 乘积的舍入用噪声源e[k]表示，对其做如下假设： (1) 各噪声源均为白噪声序列。 (2) 各噪声源统计独立，互不相关。 (3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为 等概率密度分布。
IIR DF的极限环振荡
IIR DF乘积量化误差的统计分析
FIR DF中乘积量化的影响 溢出问题
有限字长效应
数字滤波器的定点运算误差
IIR DF的极限环振荡 由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不 变的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
分析：
y[k ] y[k 1] x[k ]
e1[k]
01
z1 z1
11 21
11 21
ˆ y[k ]
x[k]
0L
z1 z1
eL[k]
1L 2L
1L 2L
z1 z1
2 v
i 1
L
2 ei
hi [k ]
2
数字滤波器的定点运算误差
FIR DF中乘积量化的影响
x[k] z1
h[0]
z1
h[1]
q 2b
正数和补码负数截尾误差范围为
原码负数和反码负数截尾误差范围为
舍入误差范围
q 2 ER q 2
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
滤波器输入信号量化效应
问题的提出
量化误差统计假设
信噪比和字长的关系
有限字长效应
滤波器输入信号量化效应
问题的提出
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
a1
z1
b1
e0[k]
eM+1[k]
a2
b2
e1[k]
eM+2[k]
aN
z1 bM
e2[k]
eM+N[k]
eM[k]
直接II型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接II型结构乘积量化误差分析
ea[k] b0 eb[k]
x[k]
ˆ y[k ]
a1 a2
z1 b 1 z1 b2
z1
h[2] h[N1]
y[k] e0 e1 e2 eN1
乘积量化噪声的输出平均功率
q2 2 q2 2 v ( N 1) d [k ] ( N 1) 12 k 0 12
有限字长效应
数字滤波器的定点运算误差
溢出问题 产生原因： y[k ] h[n]x[k n]