复合函数求偏导解读
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如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
定理8.5 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数 z z 存在，且有下面的链式法则： , x y z z u z v , x u x v x (1) z z u z v . y u y v y 复合函数的结构图是
w w w 的偏导数 , , . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v , x u x v x w w u w v , y u y v y w w u w v . z u z v z
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
(*)
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z，第二条是 x v z ，所以公
(4)
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u ( x), v ( x) 可导，则复合函数
z f [ ( x), ( x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz . dx
可得
dz z du z dv . dx u dx v dx
(5)
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的 一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx 导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x 的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能 dx dx dx z u v 写成 , , . x x x 公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自 变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地， 如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
z 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 x 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w . x u x v x w x
同理可得到，
(2)
z f f v ， x x v x (6) z f v . y v y
z z f 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 x x x 是将函数 z f [ x, ( x, y )] 中的y看作常量而对自变量x f 求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x 个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避 f 免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为z . x x
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 u ( x, y ), v ( x, y ) ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )],
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数， v ( x, y ) 有偏导数， 求复合函数 z f [ x, ( x, y )] 的偏导数 z , z . x y 自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一 个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数 x y 公式应是：
z z u z v z w . y u y v y w y
(3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而
u ( x, y, z ),
v ( x, y, z ) 都有偏导数，求复合函数
w f [ ( x, y, z ), ( x, y, z )]
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u ( x, y ), v ( x, wenku.baidu.com ), w ( x, y )
都有偏导数，求复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y ), ( x, y )) 的偏导数 z , z . x y
z z 例1 设 z e sin v, u xy, v x y, 求 , . x y
u
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 z u 个偏导数 与 的乘积. u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
定理8.5 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数 z z 存在，且有下面的链式法则： , x y z z u z v , x u x v x (1) z z u z v . y u y v y 复合函数的结构图是
w w w 的偏导数 , , . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v , x u x v x w w u w v , y u y v y w w u w v . z u z v z
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
(*)
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z，第二条是 x v z ，所以公
(4)
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u ( x), v ( x) 可导，则复合函数
z f [ ( x), ( x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz . dx
可得
dz z du z dv . dx u dx v dx
(5)
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的 一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx 导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x 的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能 dx dx dx z u v 写成 , , . x x x 公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自 变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地， 如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
z 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 x 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w . x u x v x w x
同理可得到，
(2)
z f f v ， x x v x (6) z f v . y v y
z z f 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 x x x 是将函数 z f [ x, ( x, y )] 中的y看作常量而对自变量x f 求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x 个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避 f 免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为z . x x
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 u ( x, y ), v ( x, y ) ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )],
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数， v ( x, y ) 有偏导数， 求复合函数 z f [ x, ( x, y )] 的偏导数 z , z . x y 自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一 个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数 x y 公式应是：
z z u z v z w . y u y v y w y
(3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而
u ( x, y, z ),
v ( x, y, z ) 都有偏导数，求复合函数
w f [ ( x, y, z ), ( x, y, z )]
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u ( x, y ), v ( x, wenku.baidu.com ), w ( x, y )
都有偏导数，求复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y ), ( x, y )) 的偏导数 z , z . x y
z z 例1 设 z e sin v, u xy, v x y, 求 , . x y
u
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 z u 个偏导数 与 的乘积. u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.