第08章 剪切和扭转
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（a）
F
解： 为保证接头强度，需作 F 出三方面的校核。 (1) 铆钉的剪切强度校核 F 3 FS 200 10 42 2 0.02 AS d 4 4 4 159.15MPa<
b （b）
F
m
F/4
n F/4
F/4 F/4 F
m n （c） 3F/4 F/4 （d） F
对脆性材料
(0.8 1)
8-2-2挤压的实用计算
1、挤压：两种构件之间的接触表面相互压紧 而使表面局部受压的现象
F F
假设应力在挤压 面上是均匀分布的
Fbs 得实用挤压应力公式 bs Abs
Fbs
Fbs
*注意挤压面面积的计算
Abs d
2） 挤压强度条件： bs
解：1.确定铆钉数目N 每个铆钉所受剪力 Q=P/N 每个铆钉所受挤压力Pbe=P/N 先按剪切强度条件确定N 再按挤压强度条件确定N P
P
Q P/N 2 A d /4
4P N 3.64(个) 2 d
Pbe P / N be be Abe td P N 2.5(个) td be
(3) 钢板的抗拉强度校核 由于上、下侧钢板厚度相同，故验算下侧钢块即 F 可，画出它的受力图及轴力图。 对于截面m−m：
A b m d t 0.2 2 0.02 0.008
F b （b） m F/4 n （a）
F
F
12.8 104 m 2
FN 200 103 3 / 4 σ A 12.8 104 117.2 106 P a 117.2MP a [σ ]
满足剪切强度条件。
(2) 铆钉的挤压强度校核
上、下侧钢板与每个铆钉之间的挤压力均为 Fbs＝F/4，由于上、下侧钢板厚度相同，所 以只校核下侧钢板与每个铆钉之间的挤压强 度，根据挤压强度条件得
F 3 Fbs 200 10 bs 4 A bs dt 20 103 8 103 4 312.5MPa< bs
Fbs bs Abs
bs 常由实验方法确定
3）材料的许用挤压应力
1）对塑性材料 2）对脆性材料
bs (1.7 2)
bs (0.9 1.5)
8-2-3 连接板的强度计算
由于铆钉孔削弱了连接板的横截面面积，使连 接面的抗拉强度受到影响。则须对被削弱截面 进行强度验算： F [ ] 其因满足的拉伸强度条件为： Aj
8-2-1 剪切的实用计算
1）剪应力：若把作用在剪切面的剪 力按均布算，则（名义）剪应力： F 得切应力计算公式： s A 剪应力与剪切面相切，单位：Pa或MPa 2）强度条件 ：
Fs A
常由实验方法确定
3、材料的许用剪应力
对塑性材料
(0.6 0.8)
轴 轮
（c）
图3−2
（d）
8-2连接接头的强度计算
铆钉结构强度计算，其破坏可能有下列三种形式：
（1）铆钉沿其剪切面被剪断； （2）铆钉与钢板之间的挤压破坏； （3）钢板沿被削弱了的横截面被拉断。
剪切及挤压破坏
F F
F F
F
m m
F
压溃(塑性变形)
F
m
FS m
m FS m
F
Fbs Fbs
功 力偶矩 角位移 每分钟 的转数
W M s 2n M M P t t 60
功率 角速度 时间
60 P ( KW ) P M 9.549 ( KN m) 2n( r / min) n
传动装置
8-4 扭矩的计算&扭矩图
平衡条件
M x 0
T Me
8-5-2圆轴扭转时横截面内的应力计算公式
几何关系 物理关系 力学关系
A
C D
A B
C'
B
´
D'
几何关系 ( 平截面假设 )
R
d Rd ( ) tg AA
dx
M
dx
dx
rρ
dφ
物理关系 ( Hooke 定律 )
( ) G ( ) G
l
Baidu Nhomakorabea
M n,max M n2 5KN.m
（+） （-） 因此
max
M x ,max WP
3KN .m
5 103
25.5MPa
d3
M1
A
M2
d C
l
B
l
（2）扭转角 截面B：
B AB
5 103 0.5 M x 2l AB 9 GI p 82 10 (0.1) 4 32
（1）轴的最大剪应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d´应为多大？
M1
A
M2
d C
l
B
l
M1
A
M2
d C
解： (1)轴的最大剪应力 作扭矩图：
l
B
M x1 M 2 3KN .m
M x 2 M1 M 2 5KN.m
比较取N=4个
2.校核钢板的强度
若4个铆钉孔按A图排列,则黄线所在截面的轴力为P;横截面 积A=(b-2d)t,这一截面为板的危险截面。正应力为：
P 200MPa (b 2d )t
若4个铆钉孔按B图排列,则黄线 P 所在截面的轴力为P;横截面积 A=(b-d)t,这一截面正应力为：
F a b a b F （a）
a
mF b
a b F m
（b ）
剪切胡克定律
1、剪应变或切应变：矩形直角的微小改变量， 单位为弧度（rad） 2、剪切虎克定律：
G
G为比例常数—材料的切变模量，它是表示材料抵抗剪切 变形能力的量。
工程中常见受剪切连接构件
铆钉
销钉 （a） Me （b）
键
焊缝
应力集中：当构件截面尺寸有突变时，在截面突 变附近的局部小范围内应力数值急剧增加。
例钢板接头，板厚t=10mm，宽度b=120mm，铆钉直径 d=20mm，P=160kN，板和铆钉材料相同，许用切应力 [τ]=140MPa，许用正应力[σ]=160MPa，许用挤压应力 [σbe]=320MPa。求所需铆钉的数目,并校核钢板的抗拉强度。
内力偶矩T称为扭矩 扭矩的单位：
N m或KNm
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负 (右手定则）
例求图示扭矩图 Ⅰ Ⅰ
m1 Ⅰ m 2
Ⅱ Ⅱ
Ⅱ
m3
m1 =6m
T1
m3
m1 Ⅰ
m 2 =2m
Ⅱ T2
m 3 =4m
T1 =-6m
扭矩图
-6m
-4m
T2 =-4m
D 3 W D / D R 32 2 16
4
注：1）Iρ 和Wρ的单位分别为m４和m３。
2）圆环截面的Iρ 和Wρ。
令
则
8-5-3圆轴扭转时的变形计算
d T dx GI p
x T T d dx ( x) (0) dx GI p GI p 0
φ l
第八章 剪切和扭转
8-1剪切的概念及实例 8-2连接接头的强度计算 8-3扭转的概念及实例 8-4扭矩的计算&扭矩图 8-5圆轴扭转时的应力和 变形 8-6圆轴扭转时的强度条 件和刚度条件
8-1剪切的概念及实例
一、剪切变形的概念
剪切变形：当构件受到一对大小相等，方向相反， 且作用线相距很近的横向力作用时，在两力作用线 之间的截面将发生相对错动的变形。这些横截面称 为剪切面，剪切面的内力称为剪力，与之相应的应 力为切应力,用符号 表示 。
F/4
F/4
F/4
F
m n （c） 3F/4 F/4 （d） F
满足抗拉强度条件。
对于截面n−n：
FN 200103 σ A 14.4 104
A 0.2 1 0.02 0.008 14.4 104 m2
138.9 106 Pa 138.9MPa [σ ]
P/4
P/4
图A
P/4
P/4
P/4
P/4
P 160MPa (b d )t
在蓝线所在截面的轴力为3P/4; 3P / 4 150MPa (b 2d )t
P
P/4
图B
P/4
b
哪种打孔方式好？
例图示两块钢板搭接连接而成的铆接接头。钢板宽度b = 200mm，厚度t =8mm。设接头拉力F = 200kN，铆钉直 径20mm，许用切应力[τ]=160MPa，钢板许用拉应力 [σ]=170MPa，挤压许用应力 [σbs]=340MPa。试校核此 F 接头的强度。
M1
M2
C
（3）BC段孔径d’
由
AB BC
A
l
B
l
得
M x2 M x1 GI p 2 GI p1
I p1
解得：
32
(d d ) I p 2
4 4
M x1 M x2
M x1 d d 4 1 0.08m 8cm M x2
8-6圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
T 切应力计算公式 Ip
横截面上的最大剪应力为：
max
T T I / R W
其中：Iρ、Wρ分别称为截面的极惯性矩 和扭转截面系数。
圆截面的Iρ 和Wρ的计算
I dA 2 2d
2 A 0 R
2
I
R
0
4 R 4 3 d 2 D 4 32
讨论
8-5 圆轴扭转时的应力和变形 8-5-1 轴的扭转变形实验及假设
1、现象：
1）各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距 离均未改变，只是各圆周线绕轴线转动不同角 度。 2）各纵向线都倾斜了同一角度γ。
2、假设：
1）平面截面假设。圆轴扭转变形后，各横截面仍 然保持为平面，其形状，大小不变，半径仍为 直线，只是绕轴线转过了一个角度。 2）没有正应力产生。由于扭转变形时相邻横截面 之间的距离不变，整个圆轴没有伸长或缩短。 3）横截面的圆周上各点的剪应力都是相等的。因 为每一个小矩形的剪应变都等于γ，可见每个 小矩形必受到相同的剪应力作用。 4）只存在与半径方向垂直的圆周方向的剪应力。 由于横截面的半径长度不变，故横截面上没有 径向剪应力。
满足抗拉强度条件。
综上所述，该接头是安全的。
8-3扭转的概念及实例
扭转：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大 小相等、方向相反的力偶时，杆件就会产生扭转变形。 扭转变形的特点是各横截面绕杆的轴线发生相对转动。 我们将杆件任意两横截面之间相对转过的角度υ 称为 扭转角。
外加力偶矩与功率和转速的关系
（一）强度条件
受扭圆轴破坏的标志： 塑性材料：在试样表面的横向和纵向出现滑移线， 最后沿横截面被剪断。 脆性材料：变形很小，在与轴线约成45º 的面上断裂。 因此圆轴的强度条件为
max
M x ,max WP
[ ]
式中
[ ]
u
n
（u为扭转极限应力许用剪应 力,n为安全系数）
（二）刚度条件
0.00311rad 0.178
M1
A l
M2
d C
B
l
截面C
M x1lBC C AC AB BC 0.00311 GI p 3 103 0.5 0.00311 9 82 10 (0.1) 4 32
0.00125 rad 0.072
T ( x) 重要公式 dx GI p ( x) 0
l
Tl GI p
单位长度相对转角
T GI p
GIp：抗扭刚度
( torsion stiffness )
例题6-3 图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm,
M1 8KN.m ,
M 2 3KN.m 。轴的材料为钢，G=80GPa,求
d dx
γ A dA A’ τ dx dx
力学关系
2 T dA G
( 切应力对轴的合力 矩即截面上的扭矩 )
A
A
d d dA G 2dA dx dx A
d T dx GI p
其中：I
d T GI p dx
dA
2 A
重要公式
T Ip
max [ ]
max
Tmax [ ] GI P
或
[]的数值按照对机器的要求决定：
精密机器的轴： 一般传动轴：
[ ] (0.25 ~ 0.5) / m [ ] (0.5 ~ 1) / m
精度要求不高的轴： [ ] (1 ~ 2.5) / m
F
解： 为保证接头强度，需作 F 出三方面的校核。 (1) 铆钉的剪切强度校核 F 3 FS 200 10 42 2 0.02 AS d 4 4 4 159.15MPa<
b （b）
F
m
F/4
n F/4
F/4 F/4 F
m n （c） 3F/4 F/4 （d） F
对脆性材料
(0.8 1)
8-2-2挤压的实用计算
1、挤压：两种构件之间的接触表面相互压紧 而使表面局部受压的现象
F F
假设应力在挤压 面上是均匀分布的
Fbs 得实用挤压应力公式 bs Abs
Fbs
Fbs
*注意挤压面面积的计算
Abs d
2） 挤压强度条件： bs
解：1.确定铆钉数目N 每个铆钉所受剪力 Q=P/N 每个铆钉所受挤压力Pbe=P/N 先按剪切强度条件确定N 再按挤压强度条件确定N P
P
Q P/N 2 A d /4
4P N 3.64(个) 2 d
Pbe P / N be be Abe td P N 2.5(个) td be
(3) 钢板的抗拉强度校核 由于上、下侧钢板厚度相同，故验算下侧钢块即 F 可，画出它的受力图及轴力图。 对于截面m−m：
A b m d t 0.2 2 0.02 0.008
F b （b） m F/4 n （a）
F
F
12.8 104 m 2
FN 200 103 3 / 4 σ A 12.8 104 117.2 106 P a 117.2MP a [σ ]
满足剪切强度条件。
(2) 铆钉的挤压强度校核
上、下侧钢板与每个铆钉之间的挤压力均为 Fbs＝F/4，由于上、下侧钢板厚度相同，所 以只校核下侧钢板与每个铆钉之间的挤压强 度，根据挤压强度条件得
F 3 Fbs 200 10 bs 4 A bs dt 20 103 8 103 4 312.5MPa< bs
Fbs bs Abs
bs 常由实验方法确定
3）材料的许用挤压应力
1）对塑性材料 2）对脆性材料
bs (1.7 2)
bs (0.9 1.5)
8-2-3 连接板的强度计算
由于铆钉孔削弱了连接板的横截面面积，使连 接面的抗拉强度受到影响。则须对被削弱截面 进行强度验算： F [ ] 其因满足的拉伸强度条件为： Aj
8-2-1 剪切的实用计算
1）剪应力：若把作用在剪切面的剪 力按均布算，则（名义）剪应力： F 得切应力计算公式： s A 剪应力与剪切面相切，单位：Pa或MPa 2）强度条件 ：
Fs A
常由实验方法确定
3、材料的许用剪应力
对塑性材料
(0.6 0.8)
轴 轮
（c）
图3−2
（d）
8-2连接接头的强度计算
铆钉结构强度计算，其破坏可能有下列三种形式：
（1）铆钉沿其剪切面被剪断； （2）铆钉与钢板之间的挤压破坏； （3）钢板沿被削弱了的横截面被拉断。
剪切及挤压破坏
F F
F F
F
m m
F
压溃(塑性变形)
F
m
FS m
m FS m
F
Fbs Fbs
功 力偶矩 角位移 每分钟 的转数
W M s 2n M M P t t 60
功率 角速度 时间
60 P ( KW ) P M 9.549 ( KN m) 2n( r / min) n
传动装置
8-4 扭矩的计算&扭矩图
平衡条件
M x 0
T Me
8-5-2圆轴扭转时横截面内的应力计算公式
几何关系 物理关系 力学关系
A
C D
A B
C'
B
´
D'
几何关系 ( 平截面假设 )
R
d Rd ( ) tg AA
dx
M
dx
dx
rρ
dφ
物理关系 ( Hooke 定律 )
( ) G ( ) G
l
Baidu Nhomakorabea
M n,max M n2 5KN.m
（+） （-） 因此
max
M x ,max WP
3KN .m
5 103
25.5MPa
d3
M1
A
M2
d C
l
B
l
（2）扭转角 截面B：
B AB
5 103 0.5 M x 2l AB 9 GI p 82 10 (0.1) 4 32
（1）轴的最大剪应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d´应为多大？
M1
A
M2
d C
l
B
l
M1
A
M2
d C
解： (1)轴的最大剪应力 作扭矩图：
l
B
M x1 M 2 3KN .m
M x 2 M1 M 2 5KN.m
比较取N=4个
2.校核钢板的强度
若4个铆钉孔按A图排列,则黄线所在截面的轴力为P;横截面 积A=(b-2d)t,这一截面为板的危险截面。正应力为：
P 200MPa (b 2d )t
若4个铆钉孔按B图排列,则黄线 P 所在截面的轴力为P;横截面积 A=(b-d)t,这一截面正应力为：
F a b a b F （a）
a
mF b
a b F m
（b ）
剪切胡克定律
1、剪应变或切应变：矩形直角的微小改变量， 单位为弧度（rad） 2、剪切虎克定律：
G
G为比例常数—材料的切变模量，它是表示材料抵抗剪切 变形能力的量。
工程中常见受剪切连接构件
铆钉
销钉 （a） Me （b）
键
焊缝
应力集中：当构件截面尺寸有突变时，在截面突 变附近的局部小范围内应力数值急剧增加。
例钢板接头，板厚t=10mm，宽度b=120mm，铆钉直径 d=20mm，P=160kN，板和铆钉材料相同，许用切应力 [τ]=140MPa，许用正应力[σ]=160MPa，许用挤压应力 [σbe]=320MPa。求所需铆钉的数目,并校核钢板的抗拉强度。
内力偶矩T称为扭矩 扭矩的单位：
N m或KNm
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负 (右手定则）
例求图示扭矩图 Ⅰ Ⅰ
m1 Ⅰ m 2
Ⅱ Ⅱ
Ⅱ
m3
m1 =6m
T1
m3
m1 Ⅰ
m 2 =2m
Ⅱ T2
m 3 =4m
T1 =-6m
扭矩图
-6m
-4m
T2 =-4m
D 3 W D / D R 32 2 16
4
注：1）Iρ 和Wρ的单位分别为m４和m３。
2）圆环截面的Iρ 和Wρ。
令
则
8-5-3圆轴扭转时的变形计算
d T dx GI p
x T T d dx ( x) (0) dx GI p GI p 0
φ l
第八章 剪切和扭转
8-1剪切的概念及实例 8-2连接接头的强度计算 8-3扭转的概念及实例 8-4扭矩的计算&扭矩图 8-5圆轴扭转时的应力和 变形 8-6圆轴扭转时的强度条 件和刚度条件
8-1剪切的概念及实例
一、剪切变形的概念
剪切变形：当构件受到一对大小相等，方向相反， 且作用线相距很近的横向力作用时，在两力作用线 之间的截面将发生相对错动的变形。这些横截面称 为剪切面，剪切面的内力称为剪力，与之相应的应 力为切应力,用符号 表示 。
F/4
F/4
F/4
F
m n （c） 3F/4 F/4 （d） F
满足抗拉强度条件。
对于截面n−n：
FN 200103 σ A 14.4 104
A 0.2 1 0.02 0.008 14.4 104 m2
138.9 106 Pa 138.9MPa [σ ]
P/4
P/4
图A
P/4
P/4
P/4
P/4
P 160MPa (b d )t
在蓝线所在截面的轴力为3P/4; 3P / 4 150MPa (b 2d )t
P
P/4
图B
P/4
b
哪种打孔方式好？
例图示两块钢板搭接连接而成的铆接接头。钢板宽度b = 200mm，厚度t =8mm。设接头拉力F = 200kN，铆钉直 径20mm，许用切应力[τ]=160MPa，钢板许用拉应力 [σ]=170MPa，挤压许用应力 [σbs]=340MPa。试校核此 F 接头的强度。
M1
M2
C
（3）BC段孔径d’
由
AB BC
A
l
B
l
得
M x2 M x1 GI p 2 GI p1
I p1
解得：
32
(d d ) I p 2
4 4
M x1 M x2
M x1 d d 4 1 0.08m 8cm M x2
8-6圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
T 切应力计算公式 Ip
横截面上的最大剪应力为：
max
T T I / R W
其中：Iρ、Wρ分别称为截面的极惯性矩 和扭转截面系数。
圆截面的Iρ 和Wρ的计算
I dA 2 2d
2 A 0 R
2
I
R
0
4 R 4 3 d 2 D 4 32
讨论
8-5 圆轴扭转时的应力和变形 8-5-1 轴的扭转变形实验及假设
1、现象：
1）各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距 离均未改变，只是各圆周线绕轴线转动不同角 度。 2）各纵向线都倾斜了同一角度γ。
2、假设：
1）平面截面假设。圆轴扭转变形后，各横截面仍 然保持为平面，其形状，大小不变，半径仍为 直线，只是绕轴线转过了一个角度。 2）没有正应力产生。由于扭转变形时相邻横截面 之间的距离不变，整个圆轴没有伸长或缩短。 3）横截面的圆周上各点的剪应力都是相等的。因 为每一个小矩形的剪应变都等于γ，可见每个 小矩形必受到相同的剪应力作用。 4）只存在与半径方向垂直的圆周方向的剪应力。 由于横截面的半径长度不变，故横截面上没有 径向剪应力。
满足抗拉强度条件。
综上所述，该接头是安全的。
8-3扭转的概念及实例
扭转：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大 小相等、方向相反的力偶时，杆件就会产生扭转变形。 扭转变形的特点是各横截面绕杆的轴线发生相对转动。 我们将杆件任意两横截面之间相对转过的角度υ 称为 扭转角。
外加力偶矩与功率和转速的关系
（一）强度条件
受扭圆轴破坏的标志： 塑性材料：在试样表面的横向和纵向出现滑移线， 最后沿横截面被剪断。 脆性材料：变形很小，在与轴线约成45º 的面上断裂。 因此圆轴的强度条件为
max
M x ,max WP
[ ]
式中
[ ]
u
n
（u为扭转极限应力许用剪应 力,n为安全系数）
（二）刚度条件
0.00311rad 0.178
M1
A l
M2
d C
B
l
截面C
M x1lBC C AC AB BC 0.00311 GI p 3 103 0.5 0.00311 9 82 10 (0.1) 4 32
0.00125 rad 0.072
T ( x) 重要公式 dx GI p ( x) 0
l
Tl GI p
单位长度相对转角
T GI p
GIp：抗扭刚度
( torsion stiffness )
例题6-3 图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm,
M1 8KN.m ,
M 2 3KN.m 。轴的材料为钢，G=80GPa,求
d dx
γ A dA A’ τ dx dx
力学关系
2 T dA G
( 切应力对轴的合力 矩即截面上的扭矩 )
A
A
d d dA G 2dA dx dx A
d T dx GI p
其中：I
d T GI p dx
dA
2 A
重要公式
T Ip
max [ ]
max
Tmax [ ] GI P
或
[]的数值按照对机器的要求决定：
精密机器的轴： 一般传动轴：
[ ] (0.25 ~ 0.5) / m [ ] (0.5 ~ 1) / m
精度要求不高的轴： [ ] (1 ~ 2.5) / m