(完整版)高中数学必修2第三章知识点及练习题

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高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2

第23课时直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析由两点式方程，得直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0．又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0，直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0，直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)．其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案－23解析设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)，则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4，则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。

高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案

例题：直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定解：两直线的斜率分别为交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值范围．（1）l 1 与 l 2 相交；（2）l 1 与 l 2 平行；（3）l 1 与 l 2 重合；（4）l 1 与 l 2 垂直．解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交．（2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
− − − − − − − − − − − − − − −
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− −− − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − y = √[x − (−1)] 2 + [0 − (−1)] 2 + √(x − 3)2 + (0 − 2)2 ,
例题：已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值．解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有

高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定练习(含解析)新人教A版必修2

3.1.2两条直线平行与垂直的判定A组1.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是()A.20°,20°B.70°,70°C.20°,110°D.110°,20°解析:已知直线l的倾斜角为20°,∵l1∥l,∴l1的倾斜角α=20°;∵l2⊥l,∴l2的倾斜角为20°+90°=110°.答案:C2.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,1)D.(3,8)解析:设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为k AB,k DC,k AD,k BC,由题意得AB∥DC,AD∥BC, 则有k AB=k DC,k AD=k BC,所以解得m=3,n=4.所以顶点D的坐标为(3,4).答案:A3.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.C.2D.解析:由k AB=k PQ,得,即m=.答案:B4.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(1,0)解析:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l2与y轴交点坐标为(0,b),∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.∴=-1,解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).答案:B5.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形解析:易知k AB==-,k AC=,∴k AB·k AC=-1,∴AB⊥AC,∠A为直角.答案:C6.已知直线l1过A(2,3)和B(-2,6),直线l2经过C(6,6)和D(10,3),则l1与l2的位置关系为.解析:k1==-,k2==-,又k AC=,∴k1=k2≠k AC.∴l1∥l2.答案:平行7.已知点A(0,1),点B的横坐标与纵坐标满足x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是. 解析:设点B的坐标为(x,-x),∵AB⊥OB,∴x≠0且=-1,解得x=-.∴点B的坐标为.答案:8.直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当l1∥l2或l1⊥l2时,分别求实数m的值.解:当l1∥l2时,由于直线l2的斜率k2存在,则直线l1的斜率k1也存在,则k1=k2,即,解得m=3;当l1⊥l2时,由于直线l2的斜率k2存在且不为0,则直线l1的斜率k1也存在,则k1·k2=-1, 即=-1,解得m=-.综上所述,当l1∥l2时,m的值为3;当l1⊥l2时,m的值为-.9.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解:由斜率公式可得k AB=,k BC==0,k AC==5.由k BC=0知直线BC∥x轴,∴BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1k AB=-1,k2k AC=-1,即k1=-1,5k2=-1,解得k1=-,k2=-.综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;AB边上的高所在直线的斜率为-;AC边上的高所在直线的斜率为-.B组1.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1),且与y轴交于点P,则P点坐标为()A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)D.(0,3)解析:∵k1=2,l1∥l2,∴k2=2.设P(0,y),则k2==y-1=2,∴y=3,即P(0,3).答案:D2.设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论:①PQ∥SR;②PQ⊥PS;③PS∥QS;④RP⊥QS.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由斜率公式知:k PQ==-,k SR==-,k PS=,k QS==-4,k PR=,所以PQ∥SR,PS⊥PQ,RP⊥QS.而k PS≠k QS,。

必修2数学第3章知识点和例题

第1讲第3章 § 倾斜角与斜率¤知识要点：1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线ll 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题. ¤例题精讲：【例2】已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.解： ∵ 202232tan 4512(3)m mm m m --==+---， ∴2320m m ++=，解得 1m =-或2-. 但当1m =-时，A 、B 重合，舍去． ∴2m =-．【例3】已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．解: 72533AB k a a-==--， 7(9)793(2)5BC a a k --+==--. ∵ A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴ AB BC k k =，即57935aa +=-，解得2a =或29a =. 第2讲 § 两条直线平行与垂直的判定¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. ¤例题精讲：【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.解：AB边所在直线的斜率2(2222AB k -+==--，CD边所在直线的斜率2(2422CD k --==-, BC边所在直线的斜率BCk ==DA边所在直线的斜率DA k =∵ ,AB CD BC DA k k k k ==， ∴ AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形.又 ∵2(12AB BC k k =⨯=-，∴ AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形. 【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(,)x y ． ∵ ,AC BH AB CH ⊥⊥，∴ 11AC BHAB CH k k k k ⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，即 31()16511()123y x y x -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，化简为53335y x y x =+⎧⎨=-⎩，解之得：1962x y =-⎧⎨=-⎩. ∴ A 的坐标为(19,62)--. 【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？点评：当1l 与2l 的斜率存在时，1212//k k l l =⇒，12121k k l l =-⇒⊥. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.第3讲 § 直线的点斜式方程¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30. 【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围. 解：（1）由(3)1y k x =++，易知3x =-时，1y =，所以直线恒经过的定点(3,1)-.（2）由题意得(3)3103310k k k k -++>⎧⎨++>⎩，解得16k >-. 【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k 2A B =6423+--=－2. 故所求直线方程为y －6=－2（x +2），即2x +y －2=0.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．∵直线l 经过点(5,4)P --，∴ 可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y k x +=+.则直线l 在x 轴上的截距为45k -，在y 轴上的截距为54k -.根据题意得14|5||54|52k k--=，即2(54)10||k k -=.当0k >时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得1228,55k k ==；当0k <时，原方程可化为2(54)10k k -=-，此方程无实数解.故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或84(5)5y x +=+.即25100x y --=或85200x y -+=.点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.第4讲 § 直线的两点式方程¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程. 解：求出AC 中点D 的坐标(4,4)D ，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得044044y x -+=-+，即240x y -+=. 【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称.所以A (－４，0)，C （４，0），B （0，3），D （0，－3）. 由截距式，得直线AB 的方程：43x y +-＝1，即3x －４y ＋12＝0；直线BC 的方程：43x y+＝1, 即3x ＋４y －12＝0；直线AD 方程：43x y +--＝1, 即3 x ＋４y ＋12＝0；直线CD 方程：43x y+-＝1即3 x －４y －12＝0. 第5讲 § 直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. ¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l . 解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0.（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--, 解得m ＝1.【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=. （2）由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为34-，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34-，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.第6讲 § 两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.解：解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+.当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l .当1n =-时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合. 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交.∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---. 【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程. 解：设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=.则所求直线方程为4360x y --=.第7讲 § 两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，1212|||PP x x =-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.解：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或. 【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段|'|A B =【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy .设点A (a ,b)、B (-c ,0)、C (c ,0),由两点间距离公式得：|AB |=|AC |AO ， |OC |=c .∴ |AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++， |AO |2＋|OC |2=222a b c ++. ∴ |AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.第8讲§ 点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==¤例题精讲：【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=, 整理得(31)(3)100x y λλ++--=.由点到直线的距离公式可知，1d ==, 解得3λ=±. 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离. 解：直线方程化为450x y --=. 设2(,4)P a a , 则点P 到直线的距离为222d ===当12a =时，点1(,1)2P 到直线的距离最短，最短距离【例3】求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3. 解：由点线距离公式，得222)4(1)(1)(64(2)(1)m m d m m -+--++++=.假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=.∵ 248417361400∆=-⨯⨯=-<， ∴ 21748360m m ++=无实根.∴ 3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解. 从而假设不成立，即距离不等于3. 另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=.由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-. 所以直线L 恒过定点(2,2)Q -.点P 到直线L取最大距离时, PQ ⊥L ，即最大距离是PQ .∵ <3， ∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大.。

必修二数学第三章知识点归纳

必修二数学第三章知识点归纳必修二数学第三章的主要知识点归纳如下：1. 余弦定理：用于计算三角形的边长和角度。

余弦定理表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c是对边的边长，a和b是与对边夹角相邻的两边的边长，C是夹角。

2. 正弦定理：用于计算三角形的边长和角度。

正弦定理表示为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别为三角形的角度，a、b、c分别为对应的边长。

3. 合角公式：两角的和的正弦、余弦、正切关系公式。

例如：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB，tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)。

4. 二次函数：函数的一种形式，表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a 不等于0。

二次函数的图像是抛物线，开口方向取决于a的正负。

5. 判别式：二次函数的判别式用于判断二次方程的根的性质。

判别式表示为Δ = b^2 - 4ac，当Δ大于0时，方程有两个不等实根，当Δ等于0时，方程有一个重根，当Δ小于0时，方程无实根。

6. 因式分解：将二次函数拆解为两个一次函数的乘积。

根据二次函数形式及反推求解法，可以得到二次函数的因式分解形式。

7. 配方法：一种求解二次方程的方法，通过改变二次函数的形式，使其变为一个完全平方后进行因式分解。

该方法适用于二次方程的判别式大于0。

8. 平移变换：对函数图像进行水平或垂直方向的平移，改变函数的图像位置。

平移变换表达式为f(x + h) + k，其中h为水平方向平移量，k为垂直方向平移量。

9. 轴对称：函数图像以某条直线为对称轴，两边关于该轴对称。

二次函数的对称轴方程为x = -b/ 2a，其中a、b为二次函数的系数。

这些是必修二数学第三章的主要知识点，希望对你有帮助！。

必修二数学第三章知识点

必修二数学第三章知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学必修2第三章知识点+习题+答案

)．
A． k1＜ k2＜ k3
B ． k3＜ k1＜ k2
C． k3＜ k2＜ k1
D ． k1＜ k3＜ k2
D ．不存在
( 第 2 题)
3．已知直线 l 1 经过两点 (经过两点 ( 2， 1) 、 ( x，6) ，且
l 1∥ l2，则 x＝ (
20． x＋ 6y＝ 0．
解析：设所求直线与 l 1， l2 的交点分别是 A， B，设 A( x0， y0) ，则 B 点坐标为
5．C 解析：直线 Ax＋ By＋C＝ 0 的斜率 k＝
A ＜ 0，在 y 轴上的截距 D＝－ C ＞ 0，所
B
B
以，直线不通过第三象限．
6．A 解析：由已知得点 A( － 1，0) ，P( 2，3) ，B( 5，0) ，可得直线 PB 的方程是 x＋ y － 5＝ 0．
7．D 8 ．D 9 ．B
解析 : 结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所得直线
)．
A． 2
B ．－ 2
C．4
D．1
4．已知直线 l 与过点 M ( － 3 ， 2 ) ， N( 2 ，－ 3 ) 的直线垂直，则直线 l 的倾斜
角是 ( ) ．
A． 3
2 B．
3
C． 4
5．如果 AC＜ 0，且 BC＜ 0，那么直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 不通过 (
3 D．
4 )．
A．第一象限
标为
．
16 ．与直线 2x ＋ 3y＋ 5 ＝ 0 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程
是
．
17．若一束光线沿着直线 x－2y＋ 5＝ 0 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直

数学必修二第三章总结

数学必修二第三章总结数学必修二第三章阐述数学必修二第三章总结坡度（坡比）=身高量/前进量。

X轴正方向与直线向上之间方向之间所成的角α叫做直线L的倾斜角。

斜率：一条直线的交角α的正切值叫做这条直线的斜率。

α为锐角时，k＞0k=tanαα为钝角时，k＜0α=0°时，k=0倾斜角是90°的直线没有斜率。

经过两点斜率公式为P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），=211=22112若l1∥l2则k1=k2；反之，若k1=k2，则l1∥l2，l1和l2重合；若l1⊥l2，则k1k2=-1。

直线的方程：点斜式（存在斜率）：y-y0=k（x-x0）斜截式（存在斜率）：y=kx+b两点式（xyx1≠x2，y1≠y2）：y11y2y1xx2x1截距式（ab≠0）：一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0，A为正数，A、B、C不能有公因数）。

当直线l的倾斜角为0°时，y-y0=0或y=y0。

当直线l的倾斜角为90°时，x-x0=0或x=x0。

Ax+By+C=0→y=-A/Bx-C/B；-A/B为斜率，-C/B为直线在y轴上的截距。

l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0l1⊥l2，1=1→A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0。

第三点直线的交点坐标：l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0：有唯一解：相交，有无数解：重合，无解：平行。

直线系方程：过l1与l2的交点的直线或常数：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0或λ（A1x+B1y+C1）+A2x+B2y+C2=0。

两点间的距离：P1（x1，y1），P2（x2，y2）间距离：│P1P2│=212+212=122+122。

※原点o与任意一点P（x，y）的距离│OP│=2+2。

已知两点的斜率为k，P1（x1，y1），P2（x2，y2）；①y2-y1=k（x2-x1），│P1P2│=212+212=122+4121+2。

高中数学必修2第三章课后习题解答

（2）因为 k3
1 5
，k4
5 ，所以 k3k4
1，因此，直线 l3
与 l4 垂直.
2、解：经过
A，B
的直线的斜率 kAB
1 m
，经过
m 1
P，Q
的直线的斜率 kPQ
1
.
3
（1）由
AB∥PQ
得，
1 m m 1
1 3
，解得
m
1 2
.所以，当
m
1 2
时，直线
AB
与
PQ
平行；
（2）由 AB⊥PQ 得, 1 m 1 1,解得 m 2 .所以，当 m 2 时，直线 AB 与 PQ 垂直. m1 3
直线
CD 的斜率 kCD
y ，直线 x3
CB
的斜率 kCB
2 ，直线
AD
的斜率 kAD
y 1. x 1
由
CD⊥AB，且
CB∥AD，得
x y x
y 3 1 1
3 2
1
，解得
x
0,
y
1
，所以，点
D
的坐标为
0,1
.
新课程标准数学必修 2 第三章课后习题解答（第 2页共 7 页）
B 组 1、解：因为点 P 在 x 轴上，所以设点 P 的坐标为 x, 0 .
2 x3
； kAC
y5 4
因为 A，B，C 三点都在斜率为 2 的直线上，
所以
x
2
3
2
；
y5 4
2
，解得
x
4,
y
3
.
4、解：（1）经过 A，B 两点直线的斜率 k 3m 6 .由题意，得 3m 6 12 .

新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习(含精品解析)

直线的两点式方程与截距式方程1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为______【答案】【解析】【分析】已知两点坐标，代入两点式公式，化简即可得出结果.【详解】将两点坐标代入两点式公式可得：，化简得：.【点睛】本题考查直线方程的两点式求法，熟练掌握公式，代入化简即可，注意符号问题.2. 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为_____【答案】【解析】【分析】由于两点纵坐标相等，所以过两点的直线不能用两点式求，根据两点的位置可知，该直线为平行于x轴的直线，所以可以直接写出方程.【详解】因为两点纵坐标均为2，所以不能用两点式求，由其在坐标轴的位置可确定为平行于x轴的直线，所以直线方程为：.【点睛】直线的方程求法有多种，但大多有其限制条件，两点式要求两点横坐标、纵坐标均不相等，否则无法得出结果.3. 已知点A(3,2)，B(－1,4)，则过点C(2,5)且过线段AB的中点的直线方程为______【答案】【解析】【分析】由两点的坐标可求出中点坐标，与点C横纵坐标均不相同，所以代入两点式，求出直线方程.【详解】A、B中点坐标为，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：，化简得：.【点睛】本题考查中点坐标的求法以及两点式方程的求法，代入时注意符号不要出错，注意两点式求直线方程的约束条件.4. 过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是_____【答案】【解析】【分析】因为两点横纵坐标均不相等，由两点式公式，代入两点求直线方程，令，即可求得x轴上的截距.【详解】将两点代入两点式公式可得：，化简可得：，令，得，即为截距.【点睛】根据两点式公式可求得直线方程，令可得x轴上截距，令，可得y轴上截距，注意求截距时，截距有正负.5. 已知△ABC三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为______【答案】【解析】【分析】由两点坐标分别求解中点坐标，因为两中点横纵坐标均不相等，由两个中点坐标结合，代入两点式方程即可求得直线方程.【详解】由中点坐标公式可求得中点坐标：，，代入两点式公式可得：，化简得：.【点睛】本题考查两点式公式求直线方程，注意中点坐标的求法，以及两点式的限制条件.6. 已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)、N(－3,4)两点的直线上，则m＝_____【答案】【解析】由M(2，－1)、N(－3,4)得直线MN方程为：，即x+y-1=0又点P(－1,2m－1)在直线MN上∴－1+2m－1-1=0∴m＝故答案为：点睛：点在两点的连线上的处理方法：①此点满足两点直线方程；②利用斜率相等布列方程；（3）利用距离相等布列方程，比较繁琐；（4）利用向量共线处理等等.7. 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____【答案】【解析】【分析】点A、点B的坐标均不相等，可利用两点式求直线方程，因为点P在直线上，故可将点的坐标代入直线方程，即可求出m.【详解】将点A、点B代入两点式方程可得：，化简得：，将点P代入直线方程，可得：，解得：.【点睛】本题考查两点式求直线方程和点在直线上两个知识点，注意两点式的应用条件，注意计算的准确性.8. 直线在x轴，y轴上的截距分别为____【答案】【解析】【分析】由截距式标准形式可直接得出截距.【详解】由截距式的标准方程：，其中a、b为截距，可直接得出截距分别为：-2、-3.【点睛】本题考查截距式的标准形式，注意截距有正负即可.9. 直线在y轴上的截距是_____【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，即可得到y轴上截距.【详解】将直线方程化为截距式标准形式：，则y轴上截距为.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据截距式求截距，一定注意变化为标准形式，注意正负号. 10. 过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_______【答案】【解析】【分析】由两点坐标可知，两点在x轴、y轴上，求出截距，由截距式即可求得方程.【详解】由两点坐标可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为2、3，由截距式方程可得：.【点睛】本题考查截距式直线方程的求法，写出截距，代入标准方程即可.11. 直线在两坐标轴上的截距之和为______【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，求出截距，再求和即可.【详解】将直线方程化为截距式：，所以截距分别为：3、-4，所以截距之和为：-1.【点睛】本题考查截距式的标准形式与截距的读取，注意计算的准确性.12. 过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_______【答案】或【解析】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为y=x，即3x−2y=0.当直线不过原点时，设方程为，把点P(2,3)代入可得，故直线的方程为x−y+1=0，故答案为3x−2y=0，或x−y+1=0.点睛：本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.13. 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l的方程为_______【答案】【解析】【分析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可将直线表示出来，因为直线某过点，所以将点代入，即可求得a，得到直线方程.【详解】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可得：，将代入直线方程，解得：或3，所以代入直线方程化简可得，或.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，注意截距式的标准形式与限制条件.14. 过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是___【答案】或【解析】设所求直线方程为，将点代入上式可得或.考点：直线的方程15. 过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为x＝3，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为___【答案】【解析】【分析】与x轴垂直的直线为：，a为横截距，与y轴垂直的直线为：，b为纵截距，则由题意可直接写出直线方程.【详解】与y轴垂直的直线为，b为纵截距，故直线方程为：.【点睛】本题考查特殊位置直线方程，熟练掌握各类直线的表示方法，注意各种直线方程的限制条件，避免无解或错解.16. 已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_____【答案】【解析】【分析】分别求出两直线的斜率与截距，从而由题意求得直线l的斜率与截距，由直线方程的斜截式可求出直线方程，化简即可.【详解】将直线化为斜截式：，斜率为，所以直线l的斜率为，令直线中，，求得y轴上截距为4，所以直线l的纵截距为8，根据斜截式可得直线l的方程为，化简得：.【点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令或，要熟练直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.17. 已知直线l的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l的方程为___【答案】【解析】设直线l的方程为：令x=0得：纵截距为b令y=0得：横截距为又截距之和为10，即b，∴∴此直线l的方程为故答案为：18. 如右图所示，直线l的截距式方程是＋＝1，则有 ( )A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<0【答案】B【解析】【分析】由直线与坐标轴交点的位置及截距式中参数的几何意义直接得出参数的符号.【详解】直线与x轴交于正半轴，与y轴交于负半轴，所以横截距与纵截距符号一正一负，根据截距式参数的意义可知：.故选B.【点睛】本题考查直线的图像与解析式的关系，根据直线方程中参数的几何意义解题，只需要观察图像以及确定直线方程为标准形式即可.19. 两条直线l1：和l2：在同一直角坐标系中的图象可以是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由方程得出直线的截距，逐个选项验证可得．详解：由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a，﹣b，直线l2的横、纵截距分别为b，﹣a，选项A，由l1的图象可得a＜0，b＞0，可得直线l2的截距均为正数，故正确；选项B，只有当a=﹣b时，才有直线平行，故错误；选项C，只有当a=b时，才有直线的纵截距相等，故错误；选项D，由l1的图象可得a＞0，b＞0，可得直线l2的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误．故选：A．点睛：本题考查直线的截距式方程，属基础题，对于已知表达式求函数图像的题目，可代入特殊点验证，可通过定义域排除，由表达式的奇偶性进行排除等方法.20. 两直线与的图象可能是图中的哪一个 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】当m＜0，n＞0时，直线＝1在x轴上的截距m＜0，在y轴上的截距﹣n＜0；＝1的在x轴上的截距n＞0，在y轴上的截距﹣m＞0．只有B满足．故选：B．21. 已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )A. 若c＞0，则a＞0，b＞0B. 若c＞0，则a<0，b＞0C. 若c＜0，则a>0，b<0D. 若c<0，则a>0，b＞0【答案】D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.22. 直线过第一、二、三象限，则( )A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜0【答案】C【解析】【分析】由题意作出直线过第一、二、三象限的简图，通过与坐标轴交点的位置，即可判断参数的符号，得出结果. 【详解】由题意可作出直线的简图：由图像可知纵截距大于，横截距小于0，所以.故选C.【点睛】本题考查直线的位置与直线方程截距式中参数的关系，根据与坐标轴交点确定截距参数的符号. 23. 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有___条，方程为：_______【答案】(1). 2(2). ，【解析】【分析】由题意假设截距不为0，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程，当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有2条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.24. 过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有___条方程为：________【答案】(1). 2(2). ，【解析】【分析】由题意假设截距不为0，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程，当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有2条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.25. 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有____条，方程为：_____【答案】(1). 3(2). 、、【解析】【分析】本题分三种情况讨论：①截距不为0，且截距相等，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；②截距不为0，且截距互为相反数，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；③当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】①当截距不为0，且截距相等时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；②当截距不为0，且截距互为相反数时，设直线的横截距为a，则纵截距为-a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；③当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有3条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.26. 经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为________【答案】或【解析】【分析】由题意：假设截距不为0时，设出纵截距，利用截距的关系表示出横截距，再用截距式表示直线方程，将点A代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；当截距为0时，设相应的直线方程，代入点A坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的纵截距为b，则横截距为，直线方程为：，将点A坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点A，可得：，直线方程为：.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.27. 已知直线与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为_____【答案】【解析】【分析】由截距式定义可知直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，在y轴上截距为6，此面积为三角形面积，则利用截距表示面积，列出方程，即可求出a.【详解】由题意得：直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，直线在y轴上截距为6，由于此面积为三角形，所以面积为：，解得：.【点睛】本题考查截距式与图像相结合，根据截距的几何意义，与几何图形相联系，注意截距的符号问题，长度只能为正数.28. 过点P(1,3)且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是______【答案】【解析】【分析】分别假设直线横截距a与纵截距b，由于与坐标轴正半轴相交，所以截距为正数，由截距列出直线方程并将点P代入，可得关于a、b的方程，由截距表示三角形的边长，列出有关面积的方程，解方程组即可求得截距，从而求出直线方程.【详解】设直线横截距为a与纵截距为b，则，直线方程为：，将点P代入可得：，三角形面积：，解方程可得：，故直线方程为：.【点睛】本题考查直线方程截距式与直线图像相结合，考查截距的几何意义，利用截距表示长度，注意截距的正负与三角形面积的求法，一般求三角形面积可采用直接求或者割补法，本题直接求即可.29. 斜率与直线4x＋3y＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是______【答案】或【解析】【分析】将已知直线化为斜截式，求出斜率，设未知直线在y轴上的截距，列出直线方程，求出该直线在x轴上的截距，列出三角形面积方程，解出未知数，代入x轴上截距的表达式即可.【详解】将已知直线化为斜截式：，斜率为，设直线在y轴上截距为b，则直线方程为：，在x轴上截距为：，所以三角形面积为：，解得，所以x轴上截距为.【点睛】本题考查斜截式、截距的求法以及截距的几何意义，已知斜率可设纵截距，用斜截式表示直线，以截距表示长度时要用截距的绝对值，求三角形面积可用割补法或直接法.30. 直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝.选D.31. 平面直角坐标系中，直线的斜率为________【答案】【解析】【分析】将直线一般方程化为斜截式，即可求出斜率.【详解】直线方程移项，系数化为1，可得：，可知斜率为：.【点睛】本题考查直线一般方程与斜截式之间的互化，移项、系数化为1即可，注意符号的变化，计算的准确性.32. 已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．【答案】(1). (2). (3). (4).【解析】【分析】由直线倾斜角可得直线斜率，又已知在y轴上的截距和交点坐标，，故可直接得到直线的斜截式方程与点斜式方程，由直线方程求出在x轴上的截距，即可求出截距式，最后将方程化简为一般方程的形式即可. 【详解】由倾斜角可得斜率：，因为纵截距为-4，所以斜截式方程为：；由于与y轴交点坐标为，所以点斜式方程为：；由直线方程可求得在x轴上的截距为：，所以截距式为：；将直线方程化为一般式：.【点睛】本题考查直线的各种方程之间的互化以及斜率的求法，要熟练掌握各种方程所需的基本条件，并注意其限制条件，注意计算的准确性.33. 若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( )A. A，B，C同号B. AC＜0，BC＜0C. C＝0，AB＜0D. A＝0，BC＜0【答案】A【解析】【分析】由题意可知直线通过第二、三、四象限，故其斜率为负数，纵截距为负数，以三个系数分别表示斜率和纵截距，即可判断三个系数符号关系.【详解】将直线化为斜截式：，因为直线过第二、三、四象限，所以：，所以A、B、C同号.故选A.【点睛】本题考查一般式与斜截式之间的互化，以及直线的纵截距与斜率对直线图像的影响，注意转化时计算的准确性，熟练掌握各系数的作用即可.34. 直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是______【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A、B之间的关系，将此关系式代入A、B、C三者的关系式，即可得出B、C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为以B表示的式子，消去B，即可得到直线方程. 【详解】直线的斜截式为：，所以，即，将A、B关系代入，可得：，将直线方程中参数全部化为关于B的式子：，消去B，化简可得：.【点睛】本题考查斜率的求法与直线方程的求法，由于参数较多，方程较少，所以无法解出各个参数的值，只能用同一个参数表示其他参数，最后消掉参数即可，注意计算的准确性.35. 光线从A(－3，4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC所在直线的方程为_____【答案】【解析】【分析】由光的反射原理可知，直线AB与直线BC斜率互为相反数，设点B的坐标，分别表示两个斜率，令其之和为0，可解得点B的坐标，由两点式方程可求出直线BC的方程.【详解】设点B的坐标，则直线AB的斜率为：，直线BC的斜率为：，由光的反射原理可知两直线斜率互为相反数，则：，解得：，由B、C的坐标求得直线方程为：.【点睛】本题考查物理知识与几何知识相结合，入射角等于反射角，则斜率互为相反数，此类题型辅助作图会更好理解，求直线方程时注意已知条件，选择最简单的求法.36. 设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a的值，代入方程即可得到直线方程；（2）由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围. 【详解】（1）令方程横截距与纵截距相等：，解得：或0，代入直线方程即可求得方程：，；（2）由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当解得a≤－1，故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．【点睛】本题考查直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，避免漏解.37. 如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．【答案】【解析】【分析】假设直线与坐标轴交点，设直线的截距式，将点P代入直线方程，求出a、b关系，根据三角形面积的公式，用a表示三角形面积，整理为关于a的二次方程，令，求得三角形面积的最小值，然后求出参数值，即可得出直线方程.【详解】设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，则直线l的方程为＋＝1，因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S－12S △AOB≥0，又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．将S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0．【点睛】本题考查直线方程与几何图形之间的关系，学会用直线的系数表示几何长度及面积等，根据方程的性质求最值，同时解题时注意题目中条件的限制，注意参数的取值范围等情况.。

高中数学第三章3.2.1直线的点斜式方程练习(含解析)新人教A版必修2

第22课时直线的点斜式方程A．直线经过点(－3，4)，斜率为2B．直线经过点(4，－3)，斜率为2C．直线经过点(3，－4)，斜率为2D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2答案 C解析直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2．2．经过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A．y＋2＝3(x－3) B．y－2＝33(x＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3) 答案 C解析直线的斜率k ＝tan60°＝3，由点斜式可得直线的方程为y －2＝3(x ＋3)，所以选C ．A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 答案 C解析直线在y 轴上的截距为3的直线方程可以设为y ＝kx ＋3．将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k ＋3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3．4．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )答案 B解析根据斜截式方程，得其斜率与在y 轴上的截距同号，故选B ．5．已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，l 2：y ＝－2x ＋1，l 3：y ＝－n x －n ．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 答案 A解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8．又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2．∴m＋n ＝－10．故选A ．6．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( )答案 D解析逐一判定即可，对于选项A ，由l 1的图象知a>0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A 错误；对于选项B ，由l 1的图象知a>0，b<0，由l 2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B 错误；对于选项C ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C 错误；对于选项D ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b>0，故D 正确．7．求斜率为4，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．解设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求与x ，y 轴的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b ，0，B(0，b)， ∴|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b 2＋b 2＝53|b|．∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b＝±3． ∴直线l 的方程为y ＝34x±3，即：3x －4y±12＝0．8．已知直线l ：3ax －5y －a ＋2＝0，求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．证明方程3ax －5y －a ＋2＝0可化为 5y －2＝a(3x －1)，即y ＝35a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＋25，∴它表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25的直线． ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25在第一象限， ∴直线l 不论a 取何值，总过第一象限．一、选择题1．直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点( )A ．(－1，2)B ．(1，2)C ．(2，－1)D ．(2，1) 答案 B解析根据直线点斜式的定义可知，直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点(1，2)． 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 答案 C解析 ∵x－2y －2＝0的斜率为12，由题意得，所求直线的斜率为－2，由点斜式得y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案 C解析解法一：(1)当a>0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角且过原点，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a>0，A ，B ，C ，D 都不成立；(2)当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，所以A ，B ，C ，D 都不成立；(3)当a<0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角且过原点，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，且在y 轴上的截距a<0．C 正确．解法二(排除法)：直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，排除B 、D ，A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．从而得C 正确．4．下列叙述中正确的是( )A ．点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线B ．y －y 1x －x 1＝k 表示过点P(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程 C ．斜截式y ＝kx ＋b 适用于不平行于x 轴的任何直线 D ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB| 答案 A解析对于选项A ，点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，所以正确；对于选项B ，显然P(x 1，y 1)不满足方程，不正确；对于选项C ，斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线，所以不正确；对于选项D ，直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB|不正确，因为截距是b ，其值可正、可负、可为零．故选A ．5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．二、填空题6．已知直线l 在y 轴上的截距为1，且垂直于直线y ＝12x ，则l 的方程是________．答案 y ＝－2x ＋1解析设垂直于直线y ＝12x 的直线l 的方程为y ＝－2x ＋m ．因为直线l 在y 轴上的截距为1，所以m ＝1，所以直线l 的方程是y ＝－2x ＋1．7．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0解析在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M(－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°．若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x ＋3＝0；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．即x －3y ＋3＝0．综上所述，所求直线l′的方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0．8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1，0)和点B(1，0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2，2]．三、解答题9．求过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线方程．解当m ＝2时，过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线斜率不存在，其方程为x ＝2．当m≠2时，直线的斜率为k ＝0－1m －2＝－1m －2．又直线过点N(2，1)，∴直线的点斜式方程为y －1＝－1m －2(x －2)．综上，当m ＝2时，所求的直线方程为x ＝2．当m≠2时，所求的直线方程为y －1＝－1m －2(x －2)．10．等腰△ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC 及∠A 的平分线所在的直线方程．解 AC ：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 的倾斜角α为30°或120°．当α＝30°时，BC 的方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线的倾斜角为120°，即其所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3．当α＝120°时，BC 的方程为y ＝－3x ＋2－33， ∠A 平分线的倾斜角为30°，即其所在直线方程为y ＝33x ＋2＋33．。

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程习题课

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程习题课知识点一两直线的交点坐标已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)．(1)若点A在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则有：Aa＋Bb＋C＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有：知识点二两直线的位置关系知识点三(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22).(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.类型一直线恒过定点问题例1 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．方法二将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y －y0＝k(x －x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0)．跟踪训练1 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________________．答案 (9，－4)解析方法一取m ＝1，得直线y ＝－4.取m ＝，得直线x ＝9.故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4)．将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)·9－4·(2m－1)＝m －5＝右边，故直线恒过点(9，－4)．方法二直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，∵对任意m 该方程恒成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，故直线恒过定点(9，－4)．类型二对称问题例2 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a ，b)的对称点P′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程．解 (1)根据题意可知点A(a ，b)为PP ′的中点，设P′点的坐标为(x ，y)，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x0，y ＝2b －y0.所以点P′的坐标为(2a －x0，2b －y0)．(2)方法一设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x ，－2－y)，且M1在直线3x －y －4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二在直线3x －y －4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x －y －10＝0，即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P 对称，则：①l1上任意一点关于点P 的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P 的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P 到直线l1，l2的距离相等；③过点P 作一直线与l1，l2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0 答案 D解析由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.例3 点P(－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)答案 B解析设对称点坐标为(a ，b)，由题意，得⎩⎨⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得即Q(－2,5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求P(x0，y0)关于Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P′(x，y)时，利用－\f(A,B)＝－1，,A·\f(x0＋x,2)＋B·\f(y0＋y,2)＋C ＝0))可以求P′点的坐标．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l 对称，①l1上任意一点关于直线l 的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l 的对称点必在l1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l1，l2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练3 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．解设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b)，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ∴点A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又∵反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x≤)．类型三运用坐标法解决平面几何问题例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2)用坐标表示有关的量．(3)将几何关系转化为坐标运算．(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，∴|AC|＝b－02＋c－02)＝，|BD|＝a－b－a2＋c－02)＝.故|AC|＝|BD|.1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A．2 B．4C ．5 D.17答案 D解析由题意知解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴P(4,1)，则|OP|＝＝.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6 答案 B解析将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10，故选B.3．当a 取不同实数时，直线(2＋a)x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．答案 (－1，－2)解析直线方程可写成a(x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．4．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．答案 x －y ＋1＝0解析线段PQ 的垂直平分线就是直线l ，则kl·kPQ＝kl·＝－1，得kl ＝1，PQ 的中点坐标为(2,3)， ∴直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．已知直线λ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明直线l 的方程可化为y －＝a(x －)，所以不论a 取何值，直线l 恒过定点A(，)，又点A 在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 恒过第一象限． (2)解令x ＝0，y ＝，由题意，≤0，解得a≥3.所以a 的取值范围为[3，＋∞)．1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过求解定点．2．有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称：①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有－\f(A,B)＝－1，,A·\f(a ＋m,2)＋B·\f(b ＋n,2)＋C ＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．课时作业一、选择题1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案 B解析联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.2．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则( )A．m≠－1且m≠3B．m≠－1且m≠－3C．m≠1且m≠3D．m≠1且m≠－1答案A解析两线相交，其系数关系为1×3－m(m－2)≠0，解得m≠3且m≠－1.3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )A．5 B．25C．5 D．105答案C解析点A(－3,5)关于x轴的对称点的坐标为A′(－3，－5)．光线从A到B的距离是|A′B|＝－3]2＋[10－－5]2)＝5.4．已知M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，且直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，则点N的坐标是( )A．(－2，－3) B．(2,1)C．(2,3) B．(－2，－1)答案C解析设点N的坐标为(x，x＋1)，∵直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，∴kMN·(－)＝－1，∴kMN＝2，即x＋1－－1,x－0)＝2，解得x＝2，故点N的坐标为(2,3)．5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB|的值为( )A. B.175 C. D.115答案 C解析直线3ax －y －2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ，由两点间的距离公式，得|AB|＝.6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0答案 A解析由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.7．点P(a ，b)关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 A解析 ∵点P(a ，b)关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P(a ，b)在直线l 上，∴a＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.二、填空题8．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．答案 (－4，－1)解析设对称点坐标为(x0，y0)，则－1＝－1，,\f(x0＋2,2)＋\f(y0＋5,2)＝1，))解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－4，y0＝－1.9．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________．答案 (6，－8)解析 ∵3a－4b ＝1，∴b＝a －，则直线ax ＋by －2＝0，可化为ax ＋(a －)y －2＝0，即为y ＋8＝a(4x ＋3y)，由得∴直线过定点(6，－8)．10．设a ＋b ＝k(k≠0，k 为常数)，则直线ax ＋by ＝1恒过定点________．答案 (，)解析由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a)y ＝1，即a(x －y)＋ky －1＝0，若其对于任何a∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k ，y ＝1k .11．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．答案 (－，)解析设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即a ＋22＋a ＋4＋42)＝a －42＋a ＋4－62)，解得a ＝－，故P 点的坐标是(－，)．三、解答题12．已知两条直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1.解 (1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝，n ＝－.(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，∴解得或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ＝20.(3)由l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l1的方程为8y ＋n ＝0，l2的方程为2x －1＝0，∴－8＋n ＝0，解得n ＝8，∴m＝0，n ＝8.而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知，m ＝0，n ＝8.13．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x －3y ＋10＝0和l2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．解方法一过点M 与x 轴垂直的直线显然不符合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1，若与两已知直线分别交于A 、B 两点，则解方程组和⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得xA ＝，xB ＝.由题意得＋＝0，∴k＝－，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t)－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即A(－4,2)，B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.四、探究与拓展14．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析当直线4x＋y＝4与直线mx＋y＝0平行时，m＝4；当直线4x＋y＝4与直线2x－3my＝4平行时，－4＝，即m＝－；当直线mx＋y＝0与直线2x－3my＝4平行时，－m＝，无解；当三条直线交于一点时，联立解得代入2x－3my＝4，解得m＝或m＝－1.综上所述，满足条件的m值有4个．15．已知平面内两点A(8，－6)，B(2,2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．解(1)因为＝5，＝－2，所以AB的中点坐标为(5，－2)，因为kAB＝＝－，所以AB的中垂线的斜率为，故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)即3x－4y－23＝0.(2)由(1)知kAB＝－，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.(3)设B(2,2)关于直线l的对称点B′(m，n)，由⎩⎨⎧ n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B′(－，－)，kB′A＝＝－，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.。

(完整版)高中数学人教版必修二第三章知识点总结

(完整版)高中数学人教版必修二第三章知识点总结高中数学人教版必修二第三章知识点总结本文档总结了高中数学人教版必修二第三章的知识点。

以下是各个知识点的简要介绍：1. 向量的概念和表示法- 向量是具有大小和方向的量。

- 向量可以使用箭头表示，并用字母加上箭头符号表示向量。

- 向量的大小可以用绝对值表示。

- 向量可以通过坐标表示，其中横坐标和纵坐标分别称为向量的横坐标和纵坐标。

2. 向量的运算- 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到新向量的对应分量。

- 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到新向量的对应分量。

- 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘并求和得到一个数。

- 向量的夹角：可以通过两个向量的数量积计算得到夹角的余弦值。

3. 基底和坐标系- 基底是一个不共线的向量组，可以表示其他所有向量。

- 坐标系是由基底确定的一组坐标轴。

- 二维坐标系有两个坐标轴，分别表示横坐标和纵坐标。

- 三维坐标系有三个坐标轴，分别表示横坐标、纵坐标和高度。

4. 平面向量的线性运算- 平面向量的线性运算包括加法和数量积运算。

- 平面向量的加法满足交换律和结合律。

- 平面向量的数量积满足结合律和分配律。

- 平面向量的数量积还可以表示两个向量夹角的余弦值。

5. 平面向量的数量积应用- 平面向量的数量积可以用来计算向量的模长和向量的夹角。

- 平面向量的数量积可以用来判断两个向量是否垂直。

- 平面向量的数量积可以用来计算向量在某一方向上的投影。

以上是高中数学人教版必修二第三章的知识点总结。

希望对你有帮助！。

(完整版)高中数学必修2第三章知识点及练习题(可编辑修改word版)

1 2第三章直线与方程1、直线倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tan α。

①当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 的截距分别为a ,b 。

⑤一般式：Ax + By + C = 0 （A ，B 不全为 0）注意：①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

②各式的适用范围 ③特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： y = b （b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x = a （a 为常数）；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系②当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.平行于已知直线 A x + B y + C = 0 （ A , B 是不全为 0 的常数）的直线系： A 0 x + B 0 y + C = 0 （C当∈ [0 ,90 )时， k ≥ 0 ，k 随着α的增大而增大；当∈ (90 ,180)时， k < 0 ，k 随着α的增大为常数），所以平行于已知直线 A x + B y + C = 0 的直线方程可设： A x + B y + C = 0, C ≠ C而增大；当= 90时，k 不存在。

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在.垂直于已知直线 A 0 x + B 0 y + C 0 = 0 （ B 0 x - A 0 y + C = 0 （C 为常数）A 0 ,B 0 是不全为 0 的常数）的直线方程可设：P (x , y ) 、 P (x , y )y - y（2）过定点的直线系 ⑵过两点 111222的直线的斜率公式： k = 21 (x ≠ x )y - y = k (x - x )( )x 2 - x 1 ①斜率为 k 的直线系：0 ，直线过定点 x 0 , y 0 ；注意下面四点：(1) 当 x 1 = x 2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；②过两条直线l 1 : A 1x + B 1 y + C 1 = 0 ，l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系方程为(2) k 与 P 、P 的顺序无关；(A 1x + B 1 y + C 1 )+ (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0 （为参数），其中直线l 2 不在直线系中。

高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.1知识点总结含同步练习及答案

y − y1 x − x1 ，这是经过两点P (x1 , y 1 ) ，P (x2 ，y 2 )（其中x1 ≠ x2 ， = y2 − y1 x2 − x1
例题：已知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围为 45∘ < α < 135 ∘ ，则其斜率的取值范围是． − − − − − − 解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)．设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45∘ ，得到直线 l 1 ，那么 l 1 的倾斜角为（） ∘ ∘ A．α + 45 B．α − 135 C．135 ∘ − α D．当 0 ∘ ≤ α < 135 ∘ 时，倾斜角为 α + 45∘ ；当 135 ∘ ≤ α < 180 ∘ 时，倾斜角为 α − 135 ∘ ．解：D 根据题意，画出图形，如下图所示．
y2 − y1 ． x2 − x1
y − y0 ，即y − y 0 = k(x − x0 )，我们把个方程 x − x0 叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form），当直线 l 的倾斜角为90∘ 时，直线没
有斜率，它的方程不能用点斜式表示．斜截式：如果直线 l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0, b)，代入直线的点斜式方程得
y 1 ≠ y 2 ）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）． y x 截距式： + = 1 ，a ，b 分别是直线在x轴，y 轴上的截距，我们把此方程称之为直线的截距 a b
式方程，简称截距式．一般式：我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax + By + C = 0（其中A ，B 不同时为0 ）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．

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B
B
过第三象限．
6． A 解析：由已知得点 A( － 1，0) ， P( 2， 3) ， B( 5， 0) ，可得直线 PB 的方程是 x＋ y－ 5＝ 0．
7．D
8．D
9． B 解析 : 结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所得直线与
l 重合，
这说明直线 l 和 l’的斜率均为负，倾斜角是钝角．设 tan ＝－ a ． a＋1 10． D 解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线
平行于已知直线 A0 x B0 y C0 0 （ A0 , B0 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 x B0 y C 0 （ C 为常数），所以平行于已知直线 A0 x B0 y C 0 0 的直线方程可设： A0 x B0 y C 0, C C 0 垂直于已知直线 A0x B0 y C0 0 （ A0 , B0 是不全为 0 的常数）的直线方程可设： B0 x A0 y C 0 （ C 为常数）
是
．
三、解答题
18．设直线 l 的方程为 ( m2－ 2m－ 3) x＋ ( 2m2＋m－ 1) y＝ 2m－ 6( m∈ R， m≠－ 1) ，根据下列条件分别求 m 的值：
①l 在 x 轴上的截距是－ 3；
②斜率为 1．
.
21．直线 l 过点 ( 1， 2) 和第一、二、四象限，若直线方程．
C． 19x－ 3y＝ 0
D ．3x＋ 19y＝ 0
8．直线 l 1： x＋a2y＋6＝ 0 和直线 l2 : ( a－ 2) x＋ 3ay＋ 2a＝ 0 没有公共点，则 a 的值
是(
)．
A ．3
B．－ 3
C．1
D．－ 1
9．将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a( a＞ 0) 个单位，再沿 x 轴正方向平移 a＋ 1 个单位得直线 l' ，
14．求直线 3x＋ ay＝ 1 的斜率
．
15．已知点 A( － 2，1) ，B( 1，－2) ，直线 y＝2 上一点 P，使 | AP| ＝ | BP| ，则 P 点坐标为
．
16．与直线 2x＋ 3y＋ 5＝0 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是
．
17．若一束光线沿着直线 x－ 2y＋5＝ 0 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程
90°；
(2)k 与 P1、 P 2 的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。 ※ 三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，
那么这三点共线；反之，三
点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。
6、两直线平行与垂直
（ 1）当 l 1 : y k1x b1 ， l 2 : y k2 x b2 时，
l 1 // l 2
k1 k 2 , b1 b2 ； l1 l 2
k1k 2
1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（ 2）当 l 1 : A1x B1 y C1 0， l 2 : A2 x B2 y C2 0 时，
ab
的截距分别为 a,b 。
⑤一般式： Ax By C 0 （A ，B 不全为 0）
注意： ①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。
②各式的适用范围
③特殊的方程如：
平行于 x 轴的直线： y b （b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x a （ a 为常数）；
5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（ 1）平行直线系
D． 3 4
)．
A ．第一象限
B．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9 、两点间距离公式：设 A( x1 , y1)，（B x2, y2）是平面直角坐标系中的两个点，则
| AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1) 2
10、点到直线距离公式：一点 P x0, y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离为 d
11．已知直线 l 1 的倾斜角 1＝ 15°，直线 l 1 与 l 2 的交点为 A，把直线 l 2 绕着点 A 按逆时针方向旋
转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°，则直线 l 2 的斜率 k2 的值为
．
12．若三点 A( － 2， 3) ，B( 3，－ 2) ， C( 1 ，m) 共线，则 m 的值为
l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的
19．已知△ ABC 的三顶点是 A( － 1，－ 1) ， B( 3， 1) ， C( 1， 6) ．直线 l 平行于 AB，交 AC， BC
分别于 E， F，△ CEF 的面积是△ CAB 面积的 1 ．求直线 l 的方程． 4
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第三章直线与方程
k 表示 ,
①当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α =0°, k = tan0 ° =0; ②当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90° , k 不存在 .
当
0 ,90 时， k 0 ，k 随着α的增大而增大；当
90 ,180 时， k 0 ，k 随着α的增大
而增大；当
90 时， k 不存在。
4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）
①直线的点斜式方程： y y0 k (x x0 ) ，k 为直线的斜率，且过点 x0, y0 ，适用条件是不垂
直 x 轴。
注意：当直线的斜率为 0°时， k=0，直线的方程是 y y0 。
当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．横坐标都等于 x0，所以它的方程是 x=x0。
但因 l 上每一点的
②斜截式： y kx b ， k 为直线的斜率，直线在 y 轴上的截距为 b
③两点式： y y1 y2 y1
x x2
x1 x1
（
x1
x2 , y1
y2 ）直线两点 x1, y1 ， x2, y2
④ 截矩式： x
y
1 ，其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴
Ax0 By0 C A2 B2
11、两平行直线距离公式（ 1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。
（ 2 ）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 l 1和 l 2 的一般式方程为 l 1： A x+B y+C1= 0， l 2：
第三章直线与方程
1、直线倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角 .特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定α = 0 ° .
2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜ 180° . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90° . 3、直线的斜率 :⑴一条直线的倾斜角α (α≠ 90°) 的正切值叫做这条直线的斜率 ,常用小写字母也就是 k = tan α。
l ’的倾斜角为，则 5x＋4y＋ 21＝ 0 是点 A( 4， 0) 与所求点 A'( x，
B． k3＜ k1＜ k2
C． k3＜ k2＜ k1
D． k1＜ k3＜ k2
3．已知直线 l1 经过两点 ( －1，－ 2) 、( － 1， 4) ，直线 l2 经过两点 ( 2，( 第1)2、题()x，6) ，且 l 1∥ l2，则
x＝ (
)．
6．设 A， B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且 | PA| ＝| PB| ，若直线 PA 的方程为 x－ y＋ 1
（ 2）过定点的直线系
①斜率为 k 的直线系： y y0 k x x0 ，直线过定点 x0 , y0 ；
②过两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 ， l 2 : A2 x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为
A1x B1 y C1
A2x B2y C2 0 （为参数），其中直线 l 2 不在直线系中。
2 直线 l 2 的倾斜角也为，又直线 l 2 经过两点 ( 2， 1) 、 ( x， 6) ，所以， x＝ 2．
2 4．C
解析：因为直线 MN 的斜率为 2＋ 3 ＝－1 ，而已知直线 l 与直线 MN 垂直，所以直线 l 的斜－ 3－ 2
率为 1，故直线 l 的倾斜角是． 4
5．C
解析：直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的斜率 k＝ A ＜ 0，在 y 轴上的截距 D ＝－ C ＞ 0，所以，直线不通
．
2
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13．已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A( 0， 1) ， B( 1， 0) ， C( 3， 2) ，求第四个顶点
D 的坐标为
．
20．一直线被两直线该直线方程．
l1： 4x＋ y＋ 6＝ 0，l2： 3x－ 5y－ 6＝0 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求
( 第 19 题)
l 1 // l 2
A1 B2 A2 B1 0且 B 1C 2 B2 C1 0 ； l1 l 2
A1 A2 B1B2 0
例：设直线 l1 经过点 A(m ， 1)、 B( —3， 4)，直线 l 2 经过点 C(1， m)、 D( — 1， m+1) ，当 (1) l 1 / / l 2 (2) l1 ⊥ l 2 时，分别求出 m 的值
2
2
已知点 A(7 ，— 4) 、B( — 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。