微分算子法实用整理总结
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微分算子法
微分算子法分类小结
一、n 阶微分方程
1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)x
d dy
+q(x ）y=f （x)
2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y
(n-1)
+a 2y
（n —2）
+a 3y
（n-3)
+ .。. +a n y=f
（x ）
二、微分算子法
1、定义符号：D x
=d d
，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x
求导n 次；D 1表示积分，如D 1
x=
x 212 ,
n
D 1
x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算
将n 阶微分方程改写成下式：
D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3
y + 。.. +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n —3
+ 。。. +a n —1D +a n ）y=f(x)
记F(D ）=D n +a 1D
n —1
+a 2D n-2+a 3D n —3
+ .。. +a n-1D +a n
规定特解：y
＊
=)(F(D)
1
x f 3、F(D)
1
的性质
(1)性质一：F(D)
1
e kx =F(k)1e
kx (F （k ） 不等于0）
注：若k 为特征方程的m 重根时，有
F(D)1e kx = x m (D)
F 1(m)
e kx = x m
(k)F 1(m)e kx
（2）性质二：F(D)1e kx v （x)= e kx
k)
F(D 1+v （x)
（3)性质三:特解形如F(D)1sin （ax)和 F(D)
1
cos(ax)
i 。考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1e iax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 e
iax
= cos （ax)+i sin （ax ）
虚数 i 2
= -1
ii.若特解形如) F(D 12sin （ax)和) F(D 12cos(ax)，也
可按以下方法考虑: 若F (—a 2
）≠ 0，则
)
F(D 12sin （ax)=)F(-a 12sin （ax)
)F(D 1
2cos(ax)=)F(-a 12cos （ax ）
若F （—a 2）= 0 ,则按i.进行求解,或者设-a 2
为F (—
a 2
) 的m 重根,则
)
F(D 12sin （ax ）=x m )(D F 12(m)sin(ax ）
)F(D 12cos(ax ）=x m
) (D F 12(m)cos(ax)
(4）性质四（多项式)：
F(D)
1(x p +b 1x p-1+b 2x p —2
+.。。+b p-1x+b p ）
= Q （D ）（x
p
+b 1x p-1+b 2x p-2
+...+b p —1x+b p ）
注：Q (D ）为商式,按D 的升幂排列，且D 的最高次幂为p .
(5)性质五（分解因式）：
)(F(D)1x f =)()
(F (D)F 1
21x f D •=)()(F (D)F 112x f D • (6)性质六:
))()((F(D)
1
21x f x f +=)(F(D)1)(F(D)121x f x f +
三、例题练习
例1. 22d y
d x
+4y =e
x
则（D 2
+4)y =e
x
，特解y
＊
=4
1
2+D e
x
=411
2+e x =5
1e x
(性质一）
例2、 y （4)+y =2cos(3x ），则（D 4+1）y = 2cos （3x ）
特解y
*
=
1
1
4
+D 2cos(3x ）= 2114+D cos （3x ） = 2
1)3-(122+cos （3x ）=41
1
cos(3x)(性质三)
例3、2
2d y
d x
—
4x
d dy +4y = x 2
e
2x ,则（D 2-4D +4)y = x 2
e
2x
特解y
*
=+4
4-12D D x 2
e 2x = e
2x 2-212
）（+D x 2 = e
2x
12
D
x 2
= 121x 4e
2x （性质二） 例4、3
3d y
d x
—
322d y
d x +3x
d dy - y =
e x
，则（D 3
-3D 2
+3D -1）y =e
x
特解y *
=31-1）（D e x =e x 31-11）
（+D •1 =e
x
3
1D •1=6
1x 3e x
（性质二） 例5、3
3d y
d x
-y =sinx ，则（D 3
-1）y =sinx ，特解y
＊
=
1
-13
D sinx
考察
1
-13
D
e ix
1
-1
3
D e ix =
1-i 13e ix
=1i 1-+e ix =21-i e ix =21
-i (cosx +i sinx)
=—21(cosx +sinx)+i 21
(cosx -sinx ）
取虚部为特解y *
=2
1（cosx —sinx ） （性质一、
三）