(江苏专用)201x高考数学二轮复习 专题四 解析几何 微专题8 解析几何中最值与取值范围的问题
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
2 2
+y
b
2 2
=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),左
准线方程为x=-2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l交椭圆C与A,B两点.
x a
2 2
+y
b
2 2
=
1(a>b>0)的离心率为 2 ,且右焦点F到左准线的距离为6 .2
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位与x轴上方的点,直线PA交y轴于点M,
过点F作MF的垂线,交y轴于点N.
①当直线PA的斜率为 1 时,求△FMN的外接圆的方程;
2
②设直线AN交椭圆C于另一点Q,求△APQ的面积的最大值.
大值为 1 ×1 9 ×| 3 3= . 3 | 3
2
4
13
【方法归纳】 圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公 式转化为在某区间的二次函数的最值问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程, 化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求 解.圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法.
微专题8 解析几何中最值与取值范 围的问题
微专题8 解析几何中最值与取值范围的问题
题型一 利用图形的性质求解 例1 (2017江苏无锡期末)已知椭圆 x 2 +y 2 =1,动直线l与椭圆交于B,C两点.若
43
点B的坐标为 1 , 32,求 △OBC面积的最大值.
解析 由已知得,直线OB的方程为y= 3 x,即3x-2y=0.设经过点C且平行于直线
xLeabharlann Baidu
+1
2
2
y
=1
2
2
,此3 即为点D的轨迹方程,圆心
2
与12 点, 12 A (1,1)之间的距离为
,则 2
2
6 - 2 ≤AD≤ 2 + 6 .所以BC=2AD∈[ -6 , 2 + 6]. 2
22
22
题型二 利用不等式求解
例2
(2017苏北四市期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
.0
,
2 k
①当直线PA的斜率为 1 ,即k=1 时,M(0,2),N(0,-4),
2
2
因为MF⊥FN,F(2 2,0),
所以△FMN的外接圆的方程为x2+(y+1)2=9.
y k (x 4),
②由 x 2
1 6
消y 2去 y1并整理,得
8
(1+2k2)x2+16k2+32k2-16=0.
1 k2
1 k2
所以四边形AEBF的面积为S= 2 3.(2 3k )
4 3k 2
12k 2 4 3k 2
又因为(2+ 3k)2≤2(4+3k2),所以 2 ≤ 3,k所以S2≤2 .
6
4 3k 2
故四边形AEBF面积的最大值为2 6.
题型三 利用函数的方法求解
例3
(2017苏锡常镇二模)已知椭圆C: x
1
6k 2k
=
2
3≤2 8
2k 1
,当且2 仅当2k=
,即1
k
k= 2 时,取等号.
k
2
所以△APQ的面积的最大值为8 2.
【方法归纳】 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主 要是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的 表达式,然后利用基本不等式等进行求解.
解析
(1)由题意,得
c a
c
2 2 a2 c
,
6
2.
解得 a 所4 ,以b=2 . 2
c 2 2.
所以椭圆C的标准方程为 x 2 +y 2 =1.
16 8
(2)由题意,设直线PA的方程为y=k(x+4),b>0,则M(0,4k).
所以直线FN的方程为y= 2 2(x-2 ),2则N
4k
1-2 (2018如东高级中学第二学期阶段测试)在平面直角坐标系xOy中,已 知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围是
.
答案 [ 6- ,2 +6 ] 2
解析 设BC的中点为D,连接AD,OD.由AB⊥AC,得BC=2AD,OD⊥BC,OD2+
DC2=OC2,即OD2+AD2=OC2.设D(x,y),则x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,化简,得
解析 (1) y 2 +x 2 =1.
43
(2)设EF的方程为y=kx(k>0).
由4yx得2 kx43,xy22+3k122x,2=12.所以 =
,
=
x
2.
E
12 4 3k 2
y
2 E
所以|EF|=2|OE|=2 x=E22 yE2 .
1 2 (1 k 2 ) 4 3k 2
又点A,B到EF的距离为h1= 2,h2= , 3 k
2-1 (2018盐城中学高三数学阶段性检测)在平面直角坐标系中,中心在原点, 对称轴为坐标轴的椭圆,点F1(0,1)是它的一个焦点.A,B分别为上顶点和右顶 点,原点O到线段AB的距离为 2 2.1
7
(1)求椭圆E的标准方程; (2)过原点O的直线与线段AB交于点D,与椭圆交于点E,求四边形AEBF面积的 最大值.
解得x1=-4或x2=
4 1
.28所kk 22以P
.
4 8k2 1 2k2
8k
, 1
2k2
又易知直线AN的方程为y=- 1 (x+4),
2k
同理可得,Q
8k,2 4
1 2k2
8k
, 1
2k2
所以P,Q关于原点对称,即直线PQ过原点.
所以△APQ的面积S= 1
2
|OA|·(yP-yQ)=2×1
1-1 设P是椭圆 x 2 +y 2 =1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上
25 9
的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为
、
.
答案 8;12
解析 由椭圆及圆的方程可知,两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定 义知,|PA|+|PB|=2a=10.连接PA,PB,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最 小,最小值为|PA|+|PB|-2=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时 |PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2=12.综上,|PM|+|PN|的最小值和最大值分 别为8,12.
2
OB的直线l'的方程为y= 3 x+b,则当l'与椭圆只有一个公共点时,△OBC的面积
2
最大.由
x2 4
y 2 1,
消3 去y并整理,得3x2+3bx+b2-3=0.由Δ=9b2-12(b2-3)=0,解得b
y
3 2
x
b
=±2 3 .当b=2
时3 ,C
;当3 ,b=23-2
时,C
3.所以△ O3 ,B C2面3 积的最
2 2
+y
b
2 2
=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),左
准线方程为x=-2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l交椭圆C与A,B两点.
x a
2 2
+y
b
2 2
=
1(a>b>0)的离心率为 2 ,且右焦点F到左准线的距离为6 .2
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位与x轴上方的点,直线PA交y轴于点M,
过点F作MF的垂线,交y轴于点N.
①当直线PA的斜率为 1 时,求△FMN的外接圆的方程;
2
②设直线AN交椭圆C于另一点Q,求△APQ的面积的最大值.
大值为 1 ×1 9 ×| 3 3= . 3 | 3
2
4
13
【方法归纳】 圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公 式转化为在某区间的二次函数的最值问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程, 化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求 解.圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法.
微专题8 解析几何中最值与取值范 围的问题
微专题8 解析几何中最值与取值范围的问题
题型一 利用图形的性质求解 例1 (2017江苏无锡期末)已知椭圆 x 2 +y 2 =1,动直线l与椭圆交于B,C两点.若
43
点B的坐标为 1 , 32,求 △OBC面积的最大值.
解析 由已知得,直线OB的方程为y= 3 x,即3x-2y=0.设经过点C且平行于直线
xLeabharlann Baidu
+1
2
2
y
=1
2
2
,此3 即为点D的轨迹方程,圆心
2
与12 点, 12 A (1,1)之间的距离为
,则 2
2
6 - 2 ≤AD≤ 2 + 6 .所以BC=2AD∈[ -6 , 2 + 6]. 2
22
22
题型二 利用不等式求解
例2
(2017苏北四市期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
.0
,
2 k
①当直线PA的斜率为 1 ,即k=1 时,M(0,2),N(0,-4),
2
2
因为MF⊥FN,F(2 2,0),
所以△FMN的外接圆的方程为x2+(y+1)2=9.
y k (x 4),
②由 x 2
1 6
消y 2去 y1并整理,得
8
(1+2k2)x2+16k2+32k2-16=0.
1 k2
1 k2
所以四边形AEBF的面积为S= 2 3.(2 3k )
4 3k 2
12k 2 4 3k 2
又因为(2+ 3k)2≤2(4+3k2),所以 2 ≤ 3,k所以S2≤2 .
6
4 3k 2
故四边形AEBF面积的最大值为2 6.
题型三 利用函数的方法求解
例3
(2017苏锡常镇二模)已知椭圆C: x
1
6k 2k
=
2
3≤2 8
2k 1
,当且2 仅当2k=
,即1
k
k= 2 时,取等号.
k
2
所以△APQ的面积的最大值为8 2.
【方法归纳】 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主 要是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的 表达式,然后利用基本不等式等进行求解.
解析
(1)由题意,得
c a
c
2 2 a2 c
,
6
2.
解得 a 所4 ,以b=2 . 2
c 2 2.
所以椭圆C的标准方程为 x 2 +y 2 =1.
16 8
(2)由题意,设直线PA的方程为y=k(x+4),b>0,则M(0,4k).
所以直线FN的方程为y= 2 2(x-2 ),2则N
4k
1-2 (2018如东高级中学第二学期阶段测试)在平面直角坐标系xOy中,已 知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围是
.
答案 [ 6- ,2 +6 ] 2
解析 设BC的中点为D,连接AD,OD.由AB⊥AC,得BC=2AD,OD⊥BC,OD2+
DC2=OC2,即OD2+AD2=OC2.设D(x,y),则x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,化简,得
解析 (1) y 2 +x 2 =1.
43
(2)设EF的方程为y=kx(k>0).
由4yx得2 kx43,xy22+3k122x,2=12.所以 =
,
=
x
2.
E
12 4 3k 2
y
2 E
所以|EF|=2|OE|=2 x=E22 yE2 .
1 2 (1 k 2 ) 4 3k 2
又点A,B到EF的距离为h1= 2,h2= , 3 k
2-1 (2018盐城中学高三数学阶段性检测)在平面直角坐标系中,中心在原点, 对称轴为坐标轴的椭圆,点F1(0,1)是它的一个焦点.A,B分别为上顶点和右顶 点,原点O到线段AB的距离为 2 2.1
7
(1)求椭圆E的标准方程; (2)过原点O的直线与线段AB交于点D,与椭圆交于点E,求四边形AEBF面积的 最大值.
解得x1=-4或x2=
4 1
.28所kk 22以P
.
4 8k2 1 2k2
8k
, 1
2k2
又易知直线AN的方程为y=- 1 (x+4),
2k
同理可得,Q
8k,2 4
1 2k2
8k
, 1
2k2
所以P,Q关于原点对称,即直线PQ过原点.
所以△APQ的面积S= 1
2
|OA|·(yP-yQ)=2×1
1-1 设P是椭圆 x 2 +y 2 =1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上
25 9
的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为
、
.
答案 8;12
解析 由椭圆及圆的方程可知,两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定 义知,|PA|+|PB|=2a=10.连接PA,PB,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最 小,最小值为|PA|+|PB|-2=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时 |PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2=12.综上,|PM|+|PN|的最小值和最大值分 别为8,12.
2
OB的直线l'的方程为y= 3 x+b,则当l'与椭圆只有一个公共点时,△OBC的面积
2
最大.由
x2 4
y 2 1,
消3 去y并整理,得3x2+3bx+b2-3=0.由Δ=9b2-12(b2-3)=0,解得b
y
3 2
x
b
=±2 3 .当b=2
时3 ,C
;当3 ,b=23-2
时,C
3.所以△ O3 ,B C2面3 积的最